112022

Styczna ta jest granicą siecznych przecliodzących przez punkty A(xq, f(xo)) oraz B(xo+h, f(xo+h)) przy h zmierzającym do 0. Fakt ten ilustruje poniższy rysunek.

Długość odcinka BC jest równa przyrostowi wartości funkcji f odpowiadającego przyrostowi argumentu o h (długość odcinka AC). Iloraz różnicowy funkcji jest więc stosunkiem długości odcinków BC do AC. Jest on zatem równy tangensowi kąta a nachylenia siecznej AB do osi OX, co oznacza, że w sensie geometrycznym jest on równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej AB.

Jeżeli przyrost argumentu h maleje do zera, to punkt B zbliża się do punktu A. Przy przejściu do granicy (czyli do pochodnej) punkt ten pokryje się z punktem A, a sieczna stanie się już styczną (im mniejszy przyrost argumentu h, tym bardziej sieczne zbliżają się do stycznej). Zatem pochodną w punkcie x₀ możemy interpretować geometrycznie jako współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o współrzędnych (xo, f(xo)).

Przykład.

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=3x²-5 w punkcie A(l,-2).

Zauważmy od razu, że Xo=l i f(xo)=f(l)=-2. Aby skorzystać z podanego wzoru stycznej, brakuje nam tylko wartości f'( 1). W tym celu policzmy pochodną f’(x)=6x oraz f’(l)= 6-1=6.

Na podstawie podanego wzoru stycznej otrzymujemy y-(-2)=6(x-l)

czyli równane stycznej do funkcji w punkcie A(l,-2) ma postać y=6x-8 2. Interpretacja ekonomiczna, a) Prędkość zmian wartości funkcji.

Iloraz różnicowy

f (*₀ + h) - f(x) h

nazywamy też często przyrostem średnim albo przeciętnym funkcji f w przedziale [xq, Xo⁺h) .

Określenie przyrost średni (przeciętny) oznacza przyrost przypadający średnio (przeciętnie) na jednostkę przyrostu zmiennej x na odcinku 1l Iloraz różnicowy jest więc miarą średniej prędkości zmiany wartości funkcji f w przedziale [xo, xo+h]. Widać że zależy on zarówno od x₀ jak i od h.