119055

GP 2011/2012

ĆWICZENIA 6,7 - TEORIA (układy równali, wzory Cramcra. mcloda eliminacji Gaussa)

Algorytm rozwiązywania układu równań przy pomocy macierzy odwrotnej:

1) Zapisujemy układ równali liniowych w postaci macierzowej Ax = b, gdzie

	<*.2
^a2\	<*22	a2n	. x =	*2	. b =	b2
_°n\	<*»2					bn

2)    Sprawdzamy czy macierz A jest nieosobliwa

3)    Wyznaczamy macierz odwrotną A¹.

4)    Rozwiązanie układu równali jest postaci x = A ‘b.

Przykład:

Rozwiąż układ równali

*, - x₂ - 2x₃ = 1 - *, + 2*3 = 2 *, ~ *₂ - *3 = 3

Rozwiązanie:

1) Zapisujemy układ równali liniowych w postaci macierzowej Ax = b. gdzie

	1 -1 -2		V		r
A =	0 1 2	. X =	*2	. b =	2
	1 -1 -1		*3.		3

-2

2

-I

2) Sprawdzamy czy macierz A jest nieosobliwa

= 1.

1 -1 det(A) = 0    1

1 -1

Wyznacznik macierzy detA^O. zatem macierz A jest nieosobliwa.

3) Wyznaczamy macierz odwrotną A ¹

0

A’¹ =

1 1 2 1 -1 0 = A 'b

	‘ 1	1 0	1		1 1 + 1-2 + 0-3'		3
li < u X	2	1 -2	2	=	21 + 1-2-2-3	=	-2
	-1 0 1		3		-M+0-2 + 1-3		2

_2

1

4) Rozwiązanie układu równali jest postaci x

zatem czyli rozwiązaniem układu równali jest trójka *i=3, *2=-2 i *3=2.

III ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY WZORÓW CRAMKRA

Podobnie jak w poprzednim paragrafie, w przypadku rozwiązywania układu równań z wykorzystaniem wzorów Cramcra przydatna jest postać macierzowa tego układu. Ponadto muszą być spełnione następujące warunki: