120031

Minimalnym wymogiem stawianym estymatorom jest zgodność. Zgodność oznacza, że w miarę tego jak zwiększa się liczebność próby poprawia się dokładność oszacowania. To znaczy, że jak wzrasta n, to prawdopodobieństwo tego, że aj różni się od Oj o mniej niż dowolnie małe Sjest coraz bliższe jedności.

Tw: Jeśli jest spełnione założenie o nielosowości zmiennych objaśniających, to estymatory a uzyskiwane za pomocą KMNK są zgodne.

Jeśli w zbiorze zmiennych objaśniających występuje zmienna losowa, to warunkiem zgodności estymatora jest, by kowariancja składnika losowego nie zależała od losowej zmiennej objaśniającej, czyli E(X'£)= 0.

Twierdzenie Gaijssa-Markowa_

Najlepszym, nieobciążonym liniowym estymatorem wektora a w klasycznym modelu liniowym, w którym £(<*)= 0 i E($;')=a²l jest estymator a uzyskany KMNK.

„Najlepszy”, czyli najbardziej efektywny, bowiem macierz wariancji i kowariancji dowolnego innego estymatora liniowego jest większa o pewną macierz dodatnio określoną.

NIESPEŁNIENIE ZAŁOŻENIA ^E(%')⁼

W KMNK zakłada się, że macierz wariancji i kowariancji składników losowych jest równa

£(#•)= G-l.

Oznacza to, że:

5a) Wariancja D^:(£,) każdej zmiennej jest taka sama i równa g² .

5b) Wszystkie pary zmiennych (£,,£,.) są parami niezależnych zmiennych losowych, a więc odpowiednie kowariancje są równe zeru i macierz £(££') jest macierzą diagonalną.

Jeśli są spełnione założenia 5a) i 5b), to macierz wariancji i kowariancji składników losowych ma postać:

£(£') =

a^2	0	0 •	• 0 "
0	G^2	0 •	• 0
0	0	2 <7‘	0
0	0	0 •	2 • G'

Obecnie rozpatrzymy sytuacje, w których jedno albo obydwa założenia nie są spełnione, a są spełnione pozostałe założenia KMNK.

Niejednorodność w aria ncj i_

Jeśli nie jest spełnione założenie 5a) o jednorodności wariancji, a jest spełnione 5b), to mówimy, że składniki losowe są heteroskedastyczne. Wówczas macierz jest diagonalna:

£(£•) = <7 =

'*■	0	0 •	• 0'
0	*2	0 •	• 0
0	0		• 0
0	0	0 •	• K.

= g² -Q

Pizy czym jest macierzą dodatnio określoną. Autokorelacja_