120783

a)    d(*,y) = V(*,-y,)^J+U_;-y₃)² jest lo odległość

euklidesowa

Dowód:

Warunki r.2° i 4"są oczywiste, udowodnimy tylko warunek 3° definicji 8.1.

W dowodzie będziemy korzystali z nierówności Cauchyego.

V <ł(*.z) =V(», -*i)² +(*; -i,)¹ =^*1    -*,11' +!(*: -yj+iy, -z,)]¹ =

x,y.ze9t* = V(*i -y, >' +ly. - z,I' +U, -y,)‘ +(y,-z,l' +2|(x, -y,l(y, -*,)+(x, -y,)(y, -z,)] = * ale z nierówności Cauchyego wiemy, że:

i/²IU,-y,)(y,-z,)+lrr₂-y₂Hy₂-z₂)| < 2-JU,-y,)² +U₂ -yj)² ■■Jiy, - z,)² +(y₂ -

Zatem

-y,)‘ +(*, -yi)⁷] +z>/Ui -y,)’ +(*,-y,)‘-JIy7-z+(y, -z,)' +(>/iyj -*,1' +(y, -*,)')

-yi)^! +1*, -y,!⁷Wly. +(yj -*iF J -y>)^! +(*» -y_;l' Wly, — +lyj -

=d(x,y)+ii(y.z|

c.k.d.

b)

2