120786

Definicja 4 Iloczynem dwóch liczb zespolonych = (oj.6|) i z = (02,62) nazywamy liczbę zepoloną z = Z\ • z% = (0102 — 6162.0162 + 0261), co zapisujemy w postaci

z = (a,.6,) • (02.62) = (a,a₂ - 6,63.0162 + a₂6i).

Przykład 3 Niech Zi = (1,2) i niech z? = (2,3). Wtedy

zi + 22 = (1.2) + (2.3) = (1 + 2.2 + 3) = (3.5)

oraz

*1*2 = (1,2)• (2,3) *(1-2-2-3,1-3 + 2-2)*(-4,7).

□

Twierdzenie 1 Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne:

V*,.*a€r *l+*2 = *2 + *l-

Twierdzenie 2 Dodawanie liczb zespolonych jest łączne:

V*i.*a.*o€C (*1 + *2) + *3 = *1 + (*2 + *3)-Twierdzenie 3 Mnożenie liczb zespolonych jest przemienne:

V*,.*a€<' *1*2 = *2*1-

Twierdzenie 4 Mnożenie liczb zespolonych jest łączne:

*l(*2*3) = (*1*2)*3-

Przykład 4 Niech Z\ = (oi,0) i niec/» C2 = (02,0). Wtedy

*i + *2 = («i + 02,0) oraz Z\Z2 = (0,02.0).

Stąd wynika, że liczbę zespoloną z = (a,0) możemy utożsamić z liczbą rzeczywistą o, czyli

V_o€R * = («,0) = o.

Definicja 5 Elementem zerowym nazywamy liczbę z = (0,0), a elementem jednostkowym nazywamy liczbę zespoloną (1,0).

Przykład 5 Niech z = (a,6). Wtedy

z + (0,0) = (a, 6) + (0,0) = (a + 0,6 + 0) = (a, 6)

oraz

z- (1.0) = (a,6)- (1.0)= (a -1 - 6• 0.a• 0 + 6■ 1) = (a.6).

2