121042

Podstawiamy do wzorów (a):

e_v = 0 = —[<r_v - v(g_: + g_x)] => <r_Y = v(g_: + g_x )

O)

E

e, = 0= — [<j_x - v(cr_x + <r.)] => <r_x = v(a_v +cr.)

E

Wewnętrzny prostopadłościan jest ściskany ciśnieniem q, zatem naprężenie

g, = -ą .

Podstawiając ten związek do równań (1), otrzymujemy:

©

G_y- vg_x =-vq |-f

G_x - VG_X = -vq

Qi-v²)<T_x=-qv(l + v)

•> \

\-v

(J_v = -»7 + ycr. -    \q- \q-= -q

1 - y

l-i'

= -<7

1-y

Odkształcenie objętościowe (względny przyrost objętości) wyraża się wzorem:

9 = e_x + s_x + e_x = 3e_ir .

Wyrażając odkształcenia przez naprężenia za pomocą wzorów (a), otrzymujemy:

9 = -——(g_x + g_v + g.) = -—— •3<Tj_r = ~~Y— ~    i K =—~—

E * ^v 1 E ^tr —Ł— K 3(1-2^)

3(1-20

gdzie wielkość K jest modułem ściśliwości Helmholtza Zauważmy, że jeżeli v —> 1/2 to K ->co, co oznacza, że materiał jest nieściśliwy (brak zmiany objętości). Dla v -»0 mamy K = E13 = AT_mj_n, a materiał taki nazywamy idealnie ściśliwym (największa zmiana objętości). Obliczamy:

_ g_x + g_y + g_; _-q~-q~~q q\+v ^(7ir~    3    3    ' 3\-v

3(1-20

q \ + v 3(1-20 _    g(\+v)(l-2v)

3 1-/ E ” E \-v

Odpowiedź

Naprężenia w prostopadłościanie wynoszą: —*■ ^<Jy=~^qT^v ’

<T; = -q.

(ściskanie)

Zmiana objętości prostopadłościanu pod wpływem przyłożonego obciążenia wynosi:

9 = -—    ——    (ubytek objętości)

E 1 - v

2