121045

2. Równania równowagi dowolnego odkształconego fragmentu struktury'

Wobec tego, że w slupie wyróżnia się dwa przedziały w których równania momentów zginających są różnymi funkcjami zmiennej niezależnej x_y należy rozpatrzyć te dwa przypadki w zapisie warunków równowagi odkształconego fragmentu struktury Podział na przedziały pokazany jest na rysunku 2.

Zauważmy, że układ współrzędnych dla części a (r_a ya) ma początek w punkcie B (podpora) zaś układ współ rzędny cli dla części p (xp yp) ma początek w punkcie A (podstawa słupa).

Zadanie jest statycznie wyznaczalne wobec tego łatwo jest obliczyć reakcje:

Suma momentów względem punktu A daje:    RgHj=Pkif => Rb ⁼Pkrf Hi

Suma rzutów sil na oś poziomą daje:    H_A=-PkJ/Hi

Suma rzutów sil na oś pionową daje:    V_A =P_kr

Dla części a piszemy sumę momentów względem punktu o współrzędnej x_a (w ten sposób w równaniu nie pojawią się siły tnąca i normalna w tym punkcie):

M(x)+P_b.(/-y_a(.v))=0 => M(x)=P_kr(y_a(x)-f) =>

ponieważ: M(x)=-y'_a(x)EJ wobec tego: y:(x)EJ=Pjf-y_a(x)) => y*_a{x)EJ+P_iry_a(x)=P

po uporządkowaniu otr zymujemy równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu:

}^r)₊ky_a(x)=k²f    (1)

oznaczono tu (jak zawsze w zagadnieniach wyboczenia)

(2)

Rozwiązaniem tego równania ma następującą postać (jak wiadomo z podstawowego kursu matematyki i co łatwo sprawdzić przez podstawienie (3) do (1)):

,v_a(x)=.4cos(fct)+Z?sin(&t)+ y_mg(x).

Ponieważ y_m(x)= f wiec ostatecznie:

y_a (x)=/I cos(fo)+ Z? sin(fcr)+ /    (3)

Zasady ustalania y_ja-_r(x) dla równania różniczkowego niejednorodnego należy przypomnieć sobie z kursu podstawowego matematyki. W zagadnieniach związanych z wyboczeniem wyraz wolny w równaniu różniczkowym jest najczęściej wielomianem. Wobec tego rozwiązanie szczególne też ma postać wielomianu o nieznanych współczynnikach. Współczynniki te łatwo jest ustalić porównując wielomiany po prawej i lewej stronie równania różniczkowego.

Zapis sumy momentów dla części p:

M(x)+P_tr(f+(-y_ls(x)))-P_tr f-(H_l-x)=0 => A/(x)+y_p(.r)Pj_r +P^~x=0 H\

We wzorze powyższym uwzględniono fakt, że ugięcie na rysunku 1 c. jest ujemne i wzięto v(x) ze znakiem Można sprawdzić poprawność tego równania pisząc wyrażenia na moment dla dolnej części słupa, poniżej odcinka p. Można w tym wypadku, dla uniknięcia kłopotów ze znakami, narysować „lustrzane odbicie” względem osi AC rysunku 1 c. Wtedy założone ugięcie y będzie dodatnie. Zaleca się wykonać takie sprawdzenie.

2