123143

To oznacza, żer — 6 € S⁷ ir — 6 jest mniejsze od r, który jest minimalnym elementem w zbiorze S⁷, a więc otrzymujemy sprzeczność. Sprzeczność ta wynikła z założenia, że r ^ 6. Zatem musimy być r < 6. To daje nam rozkład postaci a = qb + r, gdzie 0 < r < b. Teraz trzeba pokazać jednoznaczność rozkładu. Przypuśćmy, że istnieją dwie różne liczby r i r⁷. takie że a = qb + r i a = c/6 + r⁷ i 0 < r < 6. 0 < r⁷ < 6. Wtedy mamy r > r⁷ lub r < r⁷. Wystarczy zbadać jeden z tych przypadków, i>owiedzmy r > r⁷. Wtedy mamy 0 < r — r⁷ < 6. Odejmując równości a = qb + r, a = ą⁷6 + r⁷ od siebie stronami otrzymujemy 0 = (q — q")b + (r — r⁷), a stąd r — r⁷ = (</ — <7)6 > b co jest sprzecznością z założeniem r < b. A więc przepadek r > r⁷ jest niemożliwy. Podobnie jest w przypadku r < r⁷. To oznacza, że rozkład jest jednoznaczny.D

Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia a przez 6.

Przykłady

1.    a = 1509,6 = 115, wtedy a = 31 • 145 + 14, a więc resztą z dzielenia 4509 przez 145 jest r = 14.

2.    Liczba a może być ujemna na przykład dla a = —4509,6 = 145 mamy — 4509 = (—32) • 145 + 131, a więc resztą z dzielenia —4509 przez 145 jest r = 131.

Trzeba pamiętać, że reszta zawsze musi być liczbą większą od zera.

Niech o. 6 będą liczbami całkowitymi i niech 6^0. Wtedy mówimy, że liczba 6 dzieli a (lub. że 6 jest dzielnikiem a) jeśli istnieje liczba całkowita c, że a = bc. Fakt, że liczba 6 dzieli a zapisujemy symbolicznie 6|«, a jeśli liczba 6 nic dzieli a to piszemy 6 f a.

Na przykład 2419G bo 90 = 4 • 24. Podobnie —4|24 bo 24 = (—6) • (—4). Liczba 3 nie dzieli liczby 7, a więc możemy zapisać 3 f 7.

Można łatwo zauważyć, że jeśli liczba 6 dzieli a to liczba 6 dzieli —a. Mamy więc proste stwierdzenie:

Liczby a i —a mają takie same dzielniki.

Inną prostą uwagą jest, że 1 dzieli każdą niezerową liczbę całkowitą, oraz że każda niezerow liczba całkowita dzieli 0.

Następne dwie uwagi dotyczą ilości dzielników danej liczby całkowitej:

(i)    dzielniki niezerowej liczby całkowitej a są mniejsze lub równe \a\,

(ii)    niezerową liczba całkowita ma skończoną ilość dzielników.

Na przykład dzielnikami liczby 12 są ±1, ±2, ±3. ±4. ±6. ±12.

Niech a i 6 będą liczbami całkowitymi, z których przynajmniej jedna jest różna od zera. Wtedy największym wspólnym dzielnikiem tych liczb nazywamy największą liczbę całkowitą d. która dzieli jednocześnie a i 6. Naj-

2