46678

Metody aktuarialne Ćwiczenia 6 i 7

P(Z<(l + /?)E(Z)) = 0,95

Zad. 3. Towarzystwo ubezpieczeń na życie zbudowało portfel 500 polis ubezpieczenia na całe życie na sumę ubezpieczenia 100 000 zł, przy technicznej stopie procentowej 1% dla 30 • letnich kobiet. Towarzystwo uznało, że będzie pobierać roczną składkę netto powiększoną o dodatek bezpieczeństwa wynoszący 5% wg. zasad)* wartości oczekiwanej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że portfel ten nie przyniesie straty.

a, JV,

a)

wartość składki rocznej płatnej w ciągu całego okresu ubezpieczenia:

b) wartość składki powiększonej o dodatek bezpieczeństwa P —    +

zdef. L, - zmienna losowa opisująca stratę z pojedynczej polisy (czyli różnica pomiędzy wysokością świadczeń a wielkością wpłat) L =    - zmienna losowa opisująca stratę z całego pottfela (czyli różnica pomiędzy wysokością świadczeń a wielkością wpłat)

.=i

c)    wartość oczekiwana straty dla całego portfela E( L,) = A_x — Pa_x

d) wariancja straty dla całego portfela D²(L,) =^1+—^j(²Ą, — (A,)²)    = ——

D(L)=yfnD(L,)

e)    Jakie jest prawdopodobieństwo, że portfel ten nie przyniesie straty.

L ~ N(E(L),D(L)). skorzystać z centralnego twierdzenia granicznego

UL Czasowe (terminowe) ubezpkaeiiifciła w ypadek śmiem dla osoby A-kmigj

ly

Funkcja wartości teraźniejszej:

ł\ dla k- 0,1,2,.., n-1

i

0, dlobn.ntl,...

Zad. 1. W 20 - letnim terminowym ubezpieczeniu na wypadek śmierci na sumę ubezpieczenia 100 000 zł. przy teclmicznej stopie procentowej 1% dla kobiety (mężczyzny) 35- lennej (-ego) na podstawie odpowiednich tablic trwaiua życia dla 2007 roku wyznaczyć:

M.-M.

a) wartość jednorazowej składki netto. A_y -| ⁼    2 ₂) ⁼ ^ V k Px "Qx*k "

k=0

b) ryzyko tej składki mierzone odchyleniem standardowym i współczynnikiem zmienności

Var(Z₂) = Ai_W2łt| -(/$„, )²    Vcr(Z₂ -(4U )²

,    M_x-M„_n

c) wartość składki rocznej płatnej w ciągu całego okresu ubezpieczenia: P_x si —“---r:---

d)    wartość składki rocznej płatnej w ciągu skróconego (10 letniego) okresu ubezpieczenia k ^rx-.h\ ~ ^    ^

e) rezerwę dla jednorazowej składki mYim —    —

M

_ x ♦ rn

M.

D,

f) Porównaj wyniki dotyczące kobiety i mężczyzny. Uzasadnij skąd wynikają różnice

Zad. 2 Towarzystwo ubezpieczeń na życie chce zbudować portfel 500 polis 25-letniego ubezpieczenia terminowego na wypadek śmierci na sumę ubezpieczenia 100 000 zł. przy technicznej stopie procentowej 1% dla 40- letnich mężczyzn. Towarzystwo chce pobrać jednorazową składkę netto powiększoną o dodatek bezpieczeństwa wg. zasady wartości oczekiwanej. Jak duży dodatek

2