124842

Zadanie 8. Dla macierzy

a) .4 = q , dla i = %/~X b) A =

cos 6 sin# -sin0 cos#

, dla 6 € R

wyznaczyć .4" = A A

Zadanie 9.* Dla macierzy .4 € R"*" określamy odwzorowanie ty R" 3 x — .4x € R" Podać interpretację geometryczną odwzorowania ty w przypadku, gdy

1    0    0

b) A =    0    0    1

0    1    0

W oparciu o interpretację geometryczną odwzorowania ty, uzasadnić jego bijek-tywność oraz wyznaczyć odwzorowanie odwrotne ty^-1

Zadanie 10. Udowodnić, ze iloczyn macierzy trójkątnych górnych (dolnych) jest macierzą trójkątną górną (dolną)

Zadanie 11. Wykazać zależność

Jeżeli .4 = (a_<i)?_i=i jest macierzą ortogonalną' to

^a) Hk=i^alj =*!» ^v-7 ⁼¹»    .ⁿ;

*>) £11=1 <& = 1, V» = 1,    ,n;

^c) EUri «ki<ikj =0 dla t

Zadanie 12. Zadana jest macierz ortogonalna .4 € R"^x" Rozwiązać równanie

-4.Y (i4⁷')² = -/³,

z niewiadomą macierzą ,Y, /-macierz jednostkowa

Zadanie 13.* Dowieść, ze jeżeli .4 jest macierzą silnie trójkątną (tzn jej wyrazy spełniają warunek a,j = 0 dla t > j), to .4" = 0, n € M, 0 € R^,lxn

Zadanie 14. Niech .4 = diag (dj, ,d„) € (R+)" ' " Sprawdzić, czy odwzorowanie

s R” x R" 3 (x,y) — x^r.4y € R

jest iloczynem skalarnym w przestrzeni R" W przypadku pozytywnej odpowiedzi,

wyznaczyć zbiór S\ = {x € R*’

Zadanie 15. Niech .4 = \aij\,B = [6^J 6 R^nxn Czy odwzorowanie s określone jako

n n ■ i j i

wyznacza iloczyn skalarny w przestrzeni R"^xn'^>

¹ A^r A = AA^r = I

2