2500336015

Lista pierwsza - zadania uzupełniające Zadanie 1.9

(a)

(i)    Dla jakich macierzy kwadratowych A i B zachodzi (A + B)² = A² + 2AB+B²?

(ii)    Podać przykład macierzy kwadratowych A i B, dla których {A + B)² ^ A² + 2 AB + B².

(b)    Pokazać, że jeśli macierz A ma k-ty wiersz zerowy i macierz B jest taka, że iloczyn AB jest poprawnie określony, to macierz AB ma też zerowy wiersz. Który?

(c)    ([15], str. 48) Niech A = [a*j] będzie macierzą stopnia 2. Wykazać, że macierz A jest rozwiązaniem równania macierzowego X² — tX + (det A)I = 0, gdzie t = 011+022, I jest macierzą jednostkową stopnia 2.

(d)    Niech A ma n kolumn i niech macierz jednokolumnowa Bj będzie utworzona z j-tej kolumny macierzy jednostkowej I stopnia n. Wykazać, że elementami macierzy ABj są elementy j-tej kolumny macierzy A.

(e)    Niech A będzie macierzą dowolną macierzą stopnia 3 i niech

	10 0		10 0"		‘l00		10 0’
Ei =	c 1 0 0 0 1	, £2 =	0 d 0 0 0 1	, e3 =	c 1 0 e 0 1	, £4 =	c 1 0 0 / 1

Obliczyć Cfc = E^A, — AEk dla k — 1,2,3,4. Czym obliczone macierze różnią się od macierzy A? Co w związku z tym macierze Ek mają wspólnego z elementarnymi przekształceniami wykonywanymi na wierszach lub kolumnach macierzy A? Jaki jest związek między wyznacznikami macierzy A,Ck i Dfc?

Zadanie 1.10

([12], str. 97) Obliczyć wyznacznik

4 4 4 4 4 1 4 4 4 4 114 4 4 1114 4 11114

wykonując elementarne przekształcenia kolumn. W jakiej kolejności najlepiej to zrobić? Jak ten sposób obliczania wyznacznika można uogólnić na przypadek wyznacznika macierzy stopnia n, która ma poniżej głównej przekątnej wszystkie elementy równe 1, a pozostałe równe 4? Wskazówka. Zwrócić uwagę, czym różnią się dwie sąsiednie kolumny. Zadanie 1.11

Udowodnić następujący wzór na wyznacznik Vandermonde’a (Van der Monde‘a) stopnia n (z prawej strony równości jest podwójny iloczyn)

1	Xi	X^2 .	.. x\
1	x2	®2	.. x\
1	Xn	^xn ■	.. x\

= II “ ^xl)‘

k,l=l,k>l

10