124990

1 Relacje

Mając dwa elementy a, 6 € A możemy utworzyć parę uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b (zapisujemy (a.b)) taką,że

(a.b) = (c,d) o a = c A b — d

(a.b) = (b.a) o a = b

Definicja 1. Produktem Kartezjańskim (iloczynem Kartęzjańskim) zbiorów niepustych A i D nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (a.b) takich, że jtoprzednik należy do A. następnik należy do D i oznaczmy

AxB

A x B = {(a,b) : a € A A b € B)

Przykład 1.

A = {-1,5}, B={k.l.m)

.4 x B= {(-l,^,(-l,0,(-l,ro),(5,A).(5,/),(5,m)}

B x A = {(k, -1). (itr, 5), (/,-1), (/, 5). (m, -1). (ro,5)}

A x B ^ B x A A = x. & = y=>AxB = xy

Definicja 2. Jeśli dane są dwa zbiory 4, B. to każdy podzbiór p C A X B nazywamy relacją między elementami zbioru A i B. Jeśli A = B. relacja p określona jest w zbiorze A

Przykład 2.

p = {(x,y) € j4 x B : x « -1, y € {k.l,m}}

Zamiast ( —l,fc) € p będziemy jńsać - Ipk Zamiast (a, b) € p będziemy jńsae a/ib

Definicja 3. Niech p będzie określone w zbiorze A. Mówimy, ze relacja jest:

zwrotna, jeśli A    a pa

a€A

symetryczna, jeśli A ^apb =* bpa

a.b€A

przechodnia, jeśli A l(op& A bpa) => apc)\ a.b.cęA

1