Ćwiczenie 7

Wyznaczanie współczynnika lepkości dynamicznej cieczy

1. Wprowadzenie

Lepkość - tarcie wewnętrzne, to właściwość ciał stałych, cieczy, ciekłych kryształów, gazów lub plazmy. Wynika z oddziaływań występujących przy wza­jemnym przesuwaniu się elementów tego samego ciała. Oddziaływania te charakteryzujemy wprowadzając wielkości nazywane współczynnikami lepkości. Miarą tych oddziaływań są siły lepkości. W naszym ćwiczeniu zajmiemy się wyznaczeniem współczynnika lepkości dynamicznej cieczy.

Rys.1. Rozkład prędkości w warstwie cieczy

Rozważmy warstwę cieczy o grubości Δl (rys.1). Doświadczenie wskazuje, że przesunięcie ze stałą prędkością, równoległą do powierzchni cieczy, cienkiej płytki, doskonale zwilżalnej, o polu powierzchni S (rozmiary liniowe płytki są większe od grubości warstwy), wymaga przyłożenia stycznej do płytki stałej siły F , która równoważy siłę lepkości F₀. Siła lepkości istnieje między war­s­­tewką przylegającą do płytki i warstewką następną oraz między każdą sąsiednią parą warstewek. Poszczególne warstewki cieczy przesuwają się (ślizgają się) równolegle względem siebie, przy czym rozkład prędkości w kierunku osi x przedstawiono na rys.1.

Doświadczalnie stwierdzono, że dla większości cieczy (nazywanych cieczami niutonowskimi) siła oporu lepkiego jest proporcjonalna do pola powierzchni S i wartości gradientu prędkości :

F₀ = ηS , (1)

gdzie dv jest przyrostem prędkości warstewek cieczy pozostających w odległości dx.

Współczynnikiem lepkości dynamicznej nazywamy współczynnik proporcjonalności η we wzorze (1). Jego wymiarem jest: = Pa⋅s. Wzór (1) definiuje zatem współczynnik lepkości dynamicznej cieczy lub gazu, a wyżej opisane doświadczenie może być wykorzystane do opracowania metody jego pomiaru.

Siła określona wzorem (1) uwarunkowana jest dwoma czynnikami: istnieniem sił spójności (w gazie nie występują) oraz ruchem termicznym cząsteczek, który występuje również między warstewkami cieczy o różnych prędkościach. Przechodzenie cząsteczek między warstewkami nie zmienia charakteru ruchu. Cząsteczki z warstwy o prędkości większej przechodzą do warstwy o prędkości mniejszej, przyspieszając ją. Średnio taka sama liczba cząsteczek przechodzi z warstwy o prędkości mniejszej do warstwy o prędkości większej, spowalniając ją. W miarę wzrostu temperatury siły spójności maleją. Wzrasta liczba przemieszczających się cząsteczek. Rezultatem tego jest zmniejszanie się siły oporu - przy ustalonym gradiencie prędkości i ustalonym S, siła lepkości maleje. Stąd w cieczach ze wzrostem temperatury współczynnik lepkości maleje, w przeciwieństwie do gazów, dla których obserwujemy wzrost współczynnika lepkości wraz z temperaturą.

Podsumowując, możemy stwierdzić, że współczynnik lepkości cieczy zależy od:

1. rodzaju cieczy, ponieważ od rodzaju cieczy zależą siły międzycząsteczkowe ,

2. temperatury - maleje ze wzrostem ruchu termicznego cząsteczek.

W dalszych rozważaniach ograniczymy się do przepływów laminarnych. W przepływach laminarnych ciecz płynie równoległymi warstwami z różnymi pręd­kościami, w odróżnieniu od przepływu burzliwego, w którym wektor prędkości elementów cieczy zmienia się chaotycznie.

Charakter przepływu (laminarny czy turbulentny) zależy od wartości bezwymiarowej wielkości Re zwanej liczbą Reynoldsa:

Re = , (2)

gdzie ρ jest gęstością cieczy, v - średnią (w przekroju poprzecznym) prędkością strugi, η - współczynnikiem lepkości, a l - charakterystycznym rozmiarem liniowym przekroju poprzecznego strugi cieczy lub ciała poruszającego się w cieczy. Poniżej krytycznej wartości liczby Reynoldsa przepływ ma charakter laminarny.

2. Metody pomiaru

Podamy dwie metody wyznaczania współczynnika lepkości dynamicznej cieczy η:

1. metoda oparta na prawie Stokesa - uwzględnia fakt występowania tarcia wewnętrznego w przypadku ruchu ciała w nieruchomej cieczy.

2. metoda oparta na prawie Hagena-Poiseuille'a wykorzystuje fakt występowania tarcia wewnętrznego przy przepływie cieczy w rurkach . Wykonamy dwa zadania opierające się na wyżej wymienionych metodach.

Rys.2. Siły działające na kulkę
spadającą w lepkiej cieczy

2.1. Wyznaczanie współczynnika lepkości dynamicznej η na podstawie
prawa Stokesa.

Przyjmijmy, że w cieczy lepkiej, dla której Re <<1, spada z niewielką prędkością v kulka. Spadająca kulka pociąga za sobą, z powodu istnienia sił międzycząsteczkowych, sąsiadujące z kulką warstwy cieczy. Układ warstw cieczy ślizgających się po sobie posiada różne prędkości. Kulka razem z warstewką cieczy do niej przylegającą doznaje działania siły oporu lepkiego F₀. Oprócz siły oporu F₀ na spadającą kulkę działają: siła ciężkości G oraz siła wyporu P, dana prawem Archimedesa (rys.2).

Wartość siły oporu F₀ zależy od wielkości i kształtu poruszającego się ciała, od prędkości v ciała oraz od rodzaju cieczy, w której ciało porusza się. Dla kulki o promieniu r, jest ona określona prawem Stokesa:

F₀ = 6πηrv. (3)

Można wykazać, że po pewnym czasie ustali się ruch jednostajny kulki (patrz: Uzupełnienie 5.1). Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona mamy:

, (4)

czyli:

, (5)

gdzieρ_1, ρ₂ są odpowiednio gęstością kulki i gęstością cieczy, g jest przyspieszeniem ziemskim. Wyznaczony na podstawie wzoru (5) współczynnik lepkości jest równy:

η = . (6)

Liczba Reynoldsa Re dla poruszającej się kulki o promieniu r określona jest wzorem :

Re = . (7)

Prawo Stokesa jest słuszne dla Re < 0,4.

Wyszukiwarka