PODSTAWY EKONOMETRII

Wykład I (16.03.2003)

POJĘCIE MODELU EKONOMETRYCZNEGO.

Modelem ekonometrycznym nazywamy konstrukcję formalną, która za pomocą jednego równania bądź też wielu równań odwzorowuje zasadnicze powiązania ilościowe zachodzące między badanymi zjawiskami ekonomicznymi.

Elementami modelu będą:

1. zmienne objaśniane

2. zmienne objaśniające

3. składnik losowy

4. parametry strukturalne modelu

Zmienne objaśniane - to wyróżnione zjawiska ekonomiczne, które są opisywane (wyjaśniane) przez poszczególne równania modelu. Zmienne te noszą także nazwę zmiennych endogenicznych.

Zmienne objaśniające - to zmienne służące do opisu (wyjaśniania) zmian zmiennych objaśnianych. W modelach wielorównaniowych zmienne objaśniające dzielą się na zmienne egzogeniczne oraz endogeniczne innych równań.

Zmienne egzogeniczne to takie zmienne objaśniające, które nie są wyjaśniane przez żadne równania modelu.

Zmienne endogeniczne innych równań to takie zmienne, które w danym równaniu pełnią rolę zmiennych objaśniających i są opisywane przez inne równanie modelu.

W grupie zmiennych egzogenicznych i endogenicznych pełniących rolę zmiennych objaśniających mogą się pojawić zmienne opóźnione w czasie.

Opóźnioną zmienną egzogeniczną (endogeniczną) nazywamy zmienną odnoszącą się do wcześniejszych okresów niż okres bieżący „t”.

Zmienne opóźnione w czasie wraz ze zmiennymi egzogenicznymi tworzą grupę zmiennych z góry ustalonych.

Przykład I

Zbudujemy jednorównaniowy model ekonomiczny popytu na dobro A. Jeżeli model potraktujemy jako „układ hipotez” to konstrukcja modelu będzie się opierała na hipotezach:

1. popyt na dobro A w okresie t zależy od poziomu dochodów przypadających na 1 mieszkańca, ceny dobra A oraz ceny dobra substytucyjnego B.

Y_t = ƒ ( x_1t, x_2t, x_3t, ξ_t) (1)

gdzie:

Y_t - poziom popytu na dobro A w okresie t

x_1t - poziom dochodów na 1 mieszkańca w okresie t

x_2t - poziom ceny dobra A w okresie t

x_3t - poziom ceny dobra substytucyjnego B w okresie t

ξ_t - składnik losowy modelu.

2. popyt na dobra A w okresie t zależy od poziomu popytów w okresie poprzednim ceny dobra A oraz ceny dobra komplementarnego C w okresie t.

Y_t = ƒ ( Y_t-1, x_2t, x_4t, ξ_t ) (2)

gdzie:

Y_t - popyt na dobra A w okresie t

Y_t-1 - poziom popytu na dobro A w okresie poprzednim

X_2t - poziom ceny dobra A w okresie t

X_4t - poziom ceny dobra komplementarnego C w okresie t

ξ_t - składnik losowy modelu.

Ogólny zapis modelu 1 i 2 wymaga określenia typu funkcji f.

Typ zależności f jest określany na podstawie danych empirycznych.

Celem ekonometryka na ogół nie jest weryfikacja jednej hipotezy lecz ustalenie takiej hipotezy, która byłaby dobrze uzasadniona przez materiał statystyczny, a więc w wykresie pewnej ilościowej prawidłowości ekonomicznej.

Przykładem modelu wielorównaniowego jest np. układ 3 funkcji liniowych:

P_t = α₁₁ Z_t + α₁₂ M_t-1 + α₁₃ I_t + α₁₀ + ξ_1t

Z_t = α₂₁ Z_t-1 + α₂₂ I_t + α₂₃ M_t-1 + α₂₀ + ξ_2t

I_t = α₃₁ I_t-1 + α₃₂ P_t + α₃₀ + ξ_3t (3)

Model ten wyjaśnia wzajemne zależności między wielkością produktu krajowego brutto (P), zatrudnieniem (Z), inwestycjami (I) oraz produkcyjnym majątkiem trwałym (M).

W I równaniu zmienną objaśniającą jest zmienna mierząca poziom produktu krajowego brutto w okresie t (P_t jest zmienna endogeniczna), natomiast zmiennymi objaśniającymi są zmienne mierzące rozmiary zatrudnienia (Z), wartość majątku trwałego w okresie poprzednim i poziom inwestycji w okresie t.

II równanie - zmienna mierząca rozmiary zatrudnienia jest wyjaśniane przez II równanie modelu. Czyli zmienna Z_t jest zmienną endogeniczną drugiego równania. Podobnie zmienna mierząca poziom inwestycji jest wyjaśniona przez III równanie modelu .czyli poziom inwestycji jest zmienną objaśniającą I równania i zmienną endogeniczną III równania jednocześnie.

Zmienna mierząca wartość majątku trwałego nie jest wyjaśniona przez żadne równanie modelu, a więc jest zmienną egzogeniczną, jest opóźnioną zmienną egzogeniczną.

Lewa strona: zmienne objaśniane; prawa strona: zmienne objaśniające

Parametry α_ij to parametry strukturalne modelu, natomiast ξ_1t , ξ_2t, ξ_3t to składniki losowe.

Parametry strukturalne modelu są to parametry wyrażające ilościowy wpływ danej zmiennej przy której występują na zmienną endogeniczną.

Są one szacowane na podstawie danych statystycznych.

Składnik losowy ξ (ksi) w modelu wynika z konieczności uwzględnienia:

1. wpływu wszystkich czynników mało istotnych nie wyspecyfikowanych w równaniu, a które oddziałują na zmienną endogeniczną.

2. różnic między przyjętą postacią analityczną modelu a istniejącą zależnością rzeczywistości

3. błędów pomiarów zmiennych

4. czynników losowych wywołujących wpływ na zmienną endogeniczną.

Składnik losowy ξ jest zmienną losową a wartości oczekiwanej = 0. Jest to zmienna o rozkładzie normalnym.

KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH.

Istnieje wiele kryteriów klasyfikacji modeli ekonometrycznych.

Ze względu na postać analityczną związków zmiennych i parametrów modele dzielą się na :

1. liniowe

2. nieliniowe sprowadzane do liniowych (wykładnicze, potęgowe, logarytmiczne)

3. nieliniowe nie sprowadzalne do liniowych.

Y_t = α t^β

model trendu potęgowego, sprowadzany do liniowego poprzez logarytmowanie

ln Y_t = ln α + β ln t

Y_t = a + bt + ct² trend paraboliczny, niesprowadzalny do liniowego

Podział ten jest istotny z punktu widzenia estymacji parametrów modelu, gdyż modele liniowe i sprowadzalne do liniowych można szacować stosunkowo prostymi metodami (metoda najmniejszych kwadratów).

Modele nieliniowe nie sprowadzalne do liniowych wymagają specjalnych metod estymacji nieliniowej.

Ze względu na udział czynnika czasu, a tym samym na własności dynamiczne czasu, modele dzielą się na statystyczne i dynamiczne.

Model statystyczny - to taki model, w którym zmienne endogeniczne występują bez ograniczeń czasowych, a w zbiorze zmiennych objaśniających nie występuje zmienna czasowa.

Przykładem modelu statystycznego jest ekonometryczny model kosztów całkowitych w przedsiębiorstwie. Ma on postać:

K_t = α₀ + α₁ Q_t + ξ_t (4)

K_t - poziom kosztów całkowitych w okresie t

Q_t - poziom produkcji w okresie t.

Model dynamiczny to każdy model w którym występuje zmienna losowa jako zmienna egzogeniczna lub wystepują zmienne z opóxnieniem losowym.

Przykład:

K_t = α₀ + α₁ Q_t + α₂ t + ξ_t (5) - model kosztów całkowitych

Wprowadzony czas wynika z faktu, dlatego, że koszty całkowite często wykazują trend wzrostowy lub spadkowy. Często się tez zdarza, że koszty całkowite zależą również od kosztów w okresie poprzednim.

K_t = α₀ + α₁ Q_t + β₁ K_t-1 + ξ_t

Ze względu na walory poznawcze modele ekonometryczne dzielimy na:

1. przyczynowo - opisowe

2. symptomatyczne

3. tendencje rozwojowe

Modele przyczynowo - opisowe to takie modele w których odzwierciedlone są powiązania przyczynowo -skutkowe między zmiennymi. Oznacza to, że zmienne endogeniczne Y pełnią rolę skutku, a zmienne objaśniające role przyczyn.

Modele symptomatyczne to modele w których jedyna zmienną endogeniczną a zmiennymi objaśniającymi zachodzi silna korelacja. Modele takie stosuje się wtedy, gdy brak jest podstaw do orzekania o przyczynowości badanej relacji ekonomicznej.

Modele tendencji rozwojowej to takie modele w których jedyną zmienną objaśniającą jest zmienna czasowa t. Zadaniem tych modeli jest wyjaśnianie zmian w czasie zmiennych endogenicznych.

Ponieważ bardzo wiele procesów ekonomicznych charakteryzuje się regularnymi zmianami w czasie, poznanie tych zmian ma bardzo istotne znaczenie dla oceny ich przebiegu.

Ze względu na sposób powiązań między nieopóźnionymi zmiennymi endogenicznymi modele wielorównaniowe dzielą się na :

1. proste

2. rekurencyjne

3. o równaniach współzależnych

Modele proste to takie modele w których zbiorze zmiennych objaśniających występują zmienne egzogeniczne i opóźnione zmienne endogeniczne.

W modelach rekurencyjnych występuje jednokierunkowy charakter między zmiennymi endogenicznymi.

Y_1t → Y_2t →Y_3t

Y_1t ← Y_2t ←Y_3t

W modelach o równaniach współzależnych występuje sprężania zwrotne (bezpośrednie lub pośrednie) między zmiennymi endogenicznymi np.

Y_1t ↔ Y_2t →Y_3t

Y_1t → Y_2t ↔Y_3t

Y_1t ↔ Y_2t ↔Y_3t

W celu zbadania czy model jest prosty rekurencyjny czy o równaniach współzależnych należy stwierdzić jaką postać ma macierz parametrów przy nieopóźnionych zmiennych endogenicznych.

Jeżeli macierz parametrów przy nieopóźnionych zmiennych endogenicznych B jest diagonalna to model jest prosty. Jeżeli jest trójkątna to model jest rekurencyjny. Jeżeli nie jest diagonalna i nie trójkątna to model jest o równaniach współzależnych.

W celu uzyskania macierzy B należy wszystkie zmienne wraz z parametrami przenieść na lewa stronę poszczególnych równań.

Model III

P_t - α₁₁ Z_t - α₁₂ M_t-1 I_t - α₁₀ = ξ_1t

Z_t - α₂₁ Z_t-1 - α₂₂ I_t - α₂₃ M_t-1 - α₂₀ = ξ_2t

I_t - α₃₁ I_t-1 - α₃₂ P_t - α₃₀ = ξ_3t

Macierz B przy nieopóźnionych zmiennych endogenicznych będzie miała postać:

1 -α₁₁ -α₁₃

B= 0 1 -α₂₂ - macierz ta nie jest ani diagonalna ani nie jest trójkątna. Jest to model o równaniach współzależnych.

-α₃₂ 0 1

Z_t →P_t ↔ I_t -między zmiennymi P_t i I_t występuje sprzężenie zwrotne.

Przykład modelu rekurencyjnego + powiązania między zmiennymi przedstawione są równaniami:

P_t = α₁₁Z_t + α₁₂ M_t-1 + α₁₃ I_t + α₁₀ +ξ_1t

Z_t = α₂₁Z_{t-1 +} α₂₂ I_t + α₂₃ M_t-1 + α₂₀ +ξ_2t

I_t = α₃₁ I_{t-1 +} α₃₂ P_t-1 + α₃₀ +ξ_3t

Tworzymy macierz B

1 -α₁₁ -α₁₃

B = 0 1 -α₂₂ -jest to macierz trójkątna więc jest to model rekurencyjny

0 0 1

Powiązania między zmiennymi endogenicznymi w modelu maja postać:

I_t →P_t ← Z

Przykład modelu prostego:

P_t = α₁₁ M_t + α₁₂ I_t-1 + α₁₀ +ξ_1t

Z_t = α₂₁Z_{t-1 +} α₂₂ I_t-1 + α₂₃ M_t-1 + α₂₀ +ξ_2t

I_t = α₃₁ I_{t-1 +} α₃₂ P_t-1 + α₃₀ +ξ_3t przy nieopóźnionych zmiennych endogenicznych

1 0 0

B = 0 1 0 - macierz diagonalna , model prosty

0 0 1

WYBÓR ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH DO LINIOWEGO MODELU EKONOMERTYCZNEGO

Formalne etapy doboru zmiennej do modelu można sformułować następująco:

1. ustalenie listy potencjalnych zmiennych objaśniających

2. zebranie danych statystycznych będących realizacjami zmiennej objaśniającej i potencjalnych zmiennych objaśniających

3. eliminacja potencjalnych zmiennych objaśniających oznaczających się niskim poziomem zmienności

4. ustalenie miernika jakości modelu ekonomicznego

5. obliczenie współczynników korelacji między wszystkimi rozpatrywanymi zmiennymi

6. redukcja zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających tzn. ustalenie kombinacji zmiennych objaśniających osiągających najkorzystniejszą wartość miernika jakości modelu.

Najczęściej stosowaną metodą jest metoda Z. Hellwiga.

Nośnikiem informacji o zmiennej endogenicznej jest potencjalna objaśniająca.

Y - zmienna objaśniana

X₁, ..., X_k - zmienne objaśniające.

I. Tworzymy kombinacje wszystkich zmiennych objaśniających; wybieramy wszystkie podzbiory tego zbioru

X₁, X_{2 ,...,} X_k 

K = 3  X_1, X₂, X₃ 

K₁ =  X₁  K₂ =  X₂  K₃ =  X₃ 

K₄ =  X₁, X₂  K₅ =  X₁, X₃  K₆ =  X₂, X₃ 

K₇ =  X₁, X₂, X₃ 

L = 2^K - 1 - ilość kombinacji

II. Obliczamy współczynnik korelacji Pearsona pomiędzy zmienną endogeniczną Y i zmiennymi X₁, ..., Xk - oznaczamy je r_oj

r_oj = r_y,xj j=1...k

r₀₁

R₀ = r₀₂

_...

r_0k

III. Obliczamy wsp. korelacji

r_i,j = r_{xi , xj} i,j = 1...k

1 r₁₂ ... r_1k

R = r₂₁ 1 ... r₂k

r_k1 ... 1

UWAGA!!! r_i,j = r_j,i i ≠ j r_i,i = 1

Następnie obliczamy pojemność indywidualną dla danej zmiennej i danej kombinacji.

Ta pojemność indywidualna ma postać:

r_0j²

h_i,j = ----_pl----------- ( l = 1,2,...L, l - numer kombinacji

1 + Σ r_ij  j = 1,2,...p₁ j = numer zmiennej wyst. w tej kombinacji)

ⁱ⁼¹

r₀₁²

K₁ = X₁ h_1,1 = -------

1+0

r₀₂²

K₂ = X₂ h_2,2 = -------

1+0

r₀₃²

K₃ = X₃ h_3,3 = -------

1+0

r₀₁² r₀₂²

K₄ = X₁, X₂ h_4,1 = ------- h_4,2 = -------

1+r₁₂ 1+r₂₁

W mianowniku są współczynniki korelacji pomiędzy zmienną X_j , która występuje w liczniku, a pozostałymi zmiennymi występującymi w kombinacji K_l .

r₀₁² r₀₃²

K₅ = X₁, X₃ h_5,1 = ------- h_5,3 = -------

1+ r₁₃ 1+r₃₁

r₀₂² r₀₃²

h_6,2 = ------- h_6,3 = -------

1+ r₂₃ 1+ r₃₂

r₀₁² r₀₂² r₀₃²

h_7,1 = ---------------- h_7,2 = --------------- h_7,2 = ----------------

1+r₁₂+ r₁₃ 1+r₂₁+ r₂₃ 1+ r₁₃+ r₃₂

Na podstawie powyższych pojemności indywidualnych obliczamy pojemności integralne.

Pojemnością integralną kombinacji potencjalnych zmiennych objaśniających jest wyrażenie:

_pl

H_l = Σ h_l,j dla l = 1,2,...L

^j=1

H_l - pojemność integralna dla kombinacji h_l

l - numer kombinacji

Pojemność integralna stanowi kryterium wyboru odpowiedniego zestawu zmiennych objaśniających.

Wybiera się tę kombinację zmiennej objaśniającej dla której pojemność integralna jest maksymalna.

UWAGA!!! Indywidualne i integralne wskaźniki pojemności informacyjnej przyjmują wartości z przedziału obu stron domkniętych [0,1].

Pojemności te przyjmują tym większe wartości im zmienne objaśniające są silnie skorelowane zmienną objaśnianą (im większe r_0j) oraz im słabiej są skorelowane między sobą (im mniejsze są wartości r_ij).

Przykład.

Zakłada się, że do opisu zmian endogenicznej Y w modelu jednorównaniowym, zbiór potencjalnych zmiennych objaśnianych tworzą zmienne x₁, x₂, x₃, x₄.

Y - rozmiar produkcji w mln zł

X₁ - wartość zainstalowanych maszyn i urządzeń w mln zł

X₂ - średni czas przestoju maszyn i urządzeń w setkach godzin

X₃ - zatrudnienie w setkach osób

X₄ - średnia powierzchnia hal produkcyjnych w tys. m^2.

Dane umowne:

Y	X1	X2	X3	X4
3,0	2,0	5,0	1,0	14,
4,0	2,0	4,0	3,0	12,0
3,0	1,0	5,0	2,0	10,0
2,0	1,0	5,0	4,0	8,0
5,0	3,0	4,0	3,0	12,0
7,0	4,0	3,0	5,0	15,0
8,0	4,0	2,0	7,0	12,0
10,0	5,0	1,0	6,0	10,0
5,0	3,0	4,0	7,0	8,0
12,0	6,0	1,0	7,0	6,0

0,979 1 -0,948 0,736 -0,182

-0,979 -0,948 1 -0,760 0,229

R₀ = 0,739 R₀ = 0,736 0,760 1 -0,468

-0,267 -0,182 0,229 -0,468 1

Mamy 4 potencjalne zmienne objaśniające. Z nich tworzymy kombinacje. Wszystkich kombinacji będzie 15.

K₁ = X₁ K₂ = X₂ K₃ = X₃ K₄ = X₄

K₅ = X₁, X₂ K₆ = X₁, X₃ K₇ = X₁, X₄ K₈ = X₂, X₃ K₉ = X₂, X₄ K₁₀ = X₃, X₄

K₁₁ = X₁ X₂ X₃ K₁₂ = X₁ X₂ X₄ K₁₃ = X₁ X₃ X₄ K₁₄ = X₂ X₃ X₄ K₁₅ = X₁ X₂ X₃ X₄

Następnie obliczamy dla poszczególnych kombinacji pojemności indywidualne a następnie integralne.

(0,979)² (-0,979)²

h₁₁ = ---------- = 0,9584 h₂₂ = ---------- = 0,9584

1 1

(0,739)² (-0,267)²

h₃₃ = ---------- = 0,5461 h₄₄ = ---------- = 0,0713

1 1

(0,979)² (-0,979)²

h₅₁ = ---------------- = 0,4920 h₅₃ = -------------- = 0,4920

1+ -0,948 1+-0,948

(0,979)² (0,739)²

h₆₁ = ------------ = 0,5521 h₆₃ = ---------- = 0,3146

1+ 0,739 1+0,736

(0,979)² (-0,267)²

h₇₁ = -------------- = 0,8109 h₇₄ = ---------------- = 0,0603

1+-0,182 1+-0,182

(-0,979)² (0,739)²

h₈₂ = ---------------- = 0,5446 h₈₃ = ---------------- = 0,3103

1+ -0,760 1+-0,760

(-0,979)² (-0,267)²

h₉₂ = ------------- = 0,7798 h₉₄ = ------------ = 0,0580

1+ 0,229 1+0,229

(0,979)²

h₁₁₁ = ----------------------- = 0,3571

1+ -0,948+0,736

(-0,979)²

h₁₁₂ = ----------------------------- = 0,7798

1+ -0,948+-0,760

(0,739)²

h₁₁₃ = ----------------------- = 0,7798

1+ 0,736+-760

(0,979)²

h₁₅₁= ------------------------------------ = 0,3336

1+-0,948+0,736+-0,182

(-0,979)²

h₁₅₂= ------------------------------------ = 0,3255

1+-0,948+0,229+-0,760

(0,739)²

h₁₅₃= ------------------------------------ = 0,1842

1+-0,760+-0,468+0,736

(-0,267)²

h₁₅₄= ------------------------------------ = 0,0379

1+-0,182+0,229+-468

Pojemności integralne dla poszczególnych kombinacji są równe.

H₁ = 0,9584 H₂ = 0,9584 H₃ = 0,5461 H₄ = 0,0713

H₅ = 0,9840 H₆ = 0,8667 H₇ = 0,8712 H₈ = 0,8549

H₉ = 0,8378 H₁₀ = 0,4206 H₁₁ = 0,9289 H₁₂ = 0,9407

H₁₃ = 0,7894 H₁₄ = 0,7677 H₁₅ = 0,8812

Wykład II (30.03.2003)

METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW. MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY

MNK - najczęściej stosowana metoda wyznaczania parametrów modelu ekonometrycznego. Stosować ją będziemy dla modeli jednorównaniowych następujących postaci:

Y_i = α₁x_1i + α₂x_2i + ... + α_k-1x_k-1i + ξ_i (1)

Ostatnia zmienna x_k przyjmuje wartość 1, przy czym i = 1,2...n, ξ - to jest czynnik losowy.

x_1i, x_2i, x_k-1i - dla i = 1,2,...,n to wartości zmiennych objaśniających w modelu

α_1...α_k to nieznane parametry strukturalne powyższego modelu, będziemy je szacować przez zastosowanie metody najmniejszych kwadratów, a więc szukamy minimum wyrażenia Ψ.

W tym celu rozważmy następującą sumę:

_n

Ψ = Σ (y_i - y_i^* )² → min (2)

ⁱ⁼¹

gdzie

y_i^* = a₁x_1i + a₂x_2i + ... + a_k-1 x_k-1i + a_k

Funkcję Ψ można przedstawić w tej postaci:

Ψ = (y - x_a)^T (y - x_a) ⇒ min

gdzie:

x - macierz obserwacji w której poszczególne kolumny są złożone z obserwacji poszczególnych zmiennych objaśniających.

a₁...a_k - estymatory nieznanych parametrów α₁ - α_k, są wyznaczane met. najmniejszych kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy spełniają następujący układ równań normalnych.

_{n n n n}

a₁ Σ x_1i² + a₂ Σ x_1i x_2i + ... + a_k Σ x_1i = Σ x_1i y_i

^{i=1 i=1 i=1 i=1}

_{n n n n}

a₁ Σ x_1ix_2i + a₂ Σ x_2i² + ... + a_k Σ x_2i = Σ x_2i y_i

^{i=1 i=1 i=1 i=1}

_{n n n}

a₁ Σ x_1i + a₂ Σ x_2i + ... + na_k = Σ y_i

^{i=1 i=1 i=1}

Niech y będzie wektorem zmiennej endogenicznej, a „a” wektorem nieznanych parametrów

y₁ a₁

y = y₂ a = a₂

… ...

y_n a_k

Oznaczymy X macierz obserwacji ustalonych zmiennych objaśniających modelu

x₁₁ x₂₁ ... x_k-1,1 1

x = x₁₂ x₂₂ ... x_k-1,2 1

... ... ... ... ...

x_1n x_2n ... x_k-1,n 1

Pierwsza kolumna - kolumna obserwacji zmiennej x₁

Druga kolumna - kolumna obserwacji zmiennej x₂

Trzecia kolumna - kolumna obserwacji zmiennej jedynek dlatego, że występuje wyraz wolny α_k

Założenia dotyczące macierzy X są następujące:

1. n > k + 1

2. rząd macierzy x = k + 1

Przy powyższych założeniach otrzymujemy następującą postać macierzową układu równań normalnych

(X^TX)a = X^Ty

Jeżeli rząd macierzy równa się x = k + 1 to układ posiada dokładnie 1 rozwiązanie i jest ono następującej postaci:

a = (X^TX)^-1 = X^Ty (macierz odwrotna)

Macierz wariancji i kowariancji estymatora parametrów modelu jest następującej postaci:

D²(a) = σ² (X^TX)^-1

gdzie σ - wariancja składnika losowego.

Parametr σ² nie jest znany w modelu i zastępuje się go wariancją resztową

1 _n

S²u = ------ Σ (y_i - y_i^*)²

n - k ⁱ⁼¹

gdzie y_i^* - to wartości teoretyczne zmiennej endogenicznej określone wzorem (2),wyliczone z modelu ekonometrycznego czyli to składowe wektora y^* = xa

Wariancja resztowa - jest to średniokwadratowe odchylenie wartości teoretycznych zmiennej endogenicznej od jej wartości empirycznych wyznaczonych z modelu ekonometrycznego. Wartości teoretyczne są zawsze wyznaczane z modelu !!!

Pierwiastek z wariancji resztowej nazywamy odchyleniem standardowym reszt.

Odchylenie standardowe reszt oznaczamy s(u) = √Su²

1

Su² = ------- [y^Ty - y^TX_a]

n - k

Odchylenie standardowe reszt informuje o ile średnio ± odchylają się realizacje zmiennej endogenicznej od wartości teoretycznych wyznaczonych przez oszacowany model. Do oceny stopnia zgodności oszacowanego modelu z danymi rzeczywistymi wykorzystuje się współczynnik zbieżności ϕ² obliczany ze wzoru:

_n

Σ (y_i - y_i^*)²

ϕ² = --ⁱ⁼¹-------_---

Σ (y_i - y)²

ⁱ⁼¹

_ 1 _n

gdzie y = ---- Σ y_i

n ⁱ⁼¹

Można też obliczyć z innego wzoru:

(n - k)S²u

ϕ² = ---------------

_n (Σy_i)²

Σ y_i² - -------

^{i = 1} n

Współczynnik ϕ² przyjmuje wartości od 0 do 1 i określa jaka część wariancji zmiennej endogenicznej nie została wyjaśniona przez powyższy model ekonometryczny, a więc zależy od innych czynników niż te, które uwzględniono w modelu.

ϕ² - przyjmuje wartości 0 wtedy gdy wszystkie wartości teoretyczne zmiennej endogenicznej sa równe wartościom zaobserwowanym.

Im bliższa jest wartość ϕ² 0 tym dokładniejszy jest model ekonometryczny.

Alternatywna miarą zgodności jest współczynnik determinacji R² = 1 - ϕ² ,współczynnik ten przyjmuje wartość od 0 - 1 i określa jaka częśc wariancji zmiennej endogenicznej została wyjaśniona przez zmienne objaśniające uwzględnione w oszacowanym modelu ekonometrycznym.

Im bliższa jest wartość R² liczbie 1 tym dokładniejsze jest równanie modelu ekonometrycznego.

Przykład:

Z metody Helwiga zastosowanej na poprzednim wykładzie wynika, że zmiennymi objaśniającymi rozmiar produkcji są zmienne X₁ określające wartości maszyn i urządzeń:

x₁ to jest wielkość zainstalowanych maszyn, urządzeń w mln zł,

x₂ - średni czas przestoju maszyn i urządzeń w setkach godzin.

Będziemy rozważać model ekonometryczny postaci.

Y_i = α₁ x_1i + α₂ x_2i + α₃ + ξ_i

Na podstawie następujących danych empirycznych (dane umowne) oszacować parametry strukturalne modelu i zbadać jego dokładność.

Y	X1	X2
3,0	2,0	5,0
4,0	2,0	4,0
3,0	1,0	5,0
2,0	1,0	5,0
5,0	3,0	4,0
7,0	4,0	3,0
8,0	4,0	2,0
10,0	5,0	1,0
5,0	3,0	4,0
12,0	6,0	1,0

Niech a - to wektor estymatorów nieznanych parametrów modelu otrzymanych metodą najmniejszych kwadratów (MNK).

a₁

a = a₂ a = (X^TX)^-1 X^TY

a₃

2 5 1 3

2 4 1 4

1 5 1 3

x = 1 5 1 y = 2

3 4 1 5

4 3 1 7

4 2 1 8

5 1 1 10

3 4 1 5

6 1 1 12

Σx₁² Σ₁x₂ Σx₁

X^TX = Σx₁x₂ Σx_x² Σx₂ macierz symetryczna

Σx₁ Σx₂ n

Σ X₁Y

X^TY = Σ X₂Y

Σ Y

X1	X2	Y	X1^2	X2^2	X1X2	X1Y	X2Y	YI^2
2	5	3	4	25	10	6	15	9
2	4	4	4	16	8	8	16	16
1	5	3	1	25	5	3	15	9
1	5	2	1	25	5	2	10	4
3	4	5	9	16	12	15	20	25
4	3	7	16	9	12	28	21	49
4	2	8	16	4	8	32	16	64
5	1	10	25	1	5	50	10	100
3	4	5	9	16	12	15	20	25
6	1	12	36	1	6	72	12	144
31	34	59	121	138	83	231	155	445

Tworzymy macierz X^TX

121 83 31 131

X^TX = 83 138 34 X^TY = 155

31 34 10 59

d₁₁ = 224 d₁₂ = 224 d₁₃ = -1456

d₂₁ = 224 d₂₂ = 249 d₂₃ = -1541

d₃₁ = -1456 d₃₂ = -1541 d₃₃ = 9809

Wyznacznik macierzy wynosi 560.

_{224 224 -1456}

^{------ ------ --------}

^{560 560 560}

_{224 249 -1541}

X^TX = ^{------ ------ --------}

^{560 560 560}

_{-1456 154 1 9809}

^{------ ------ --------}

^{560 560 560}

Możemy wyznaczyć wektor estymatorów parametrów modelu czyli wektora „a”.

_{224 224 -1456 28}

^{------ ------ -------- -----}

^{560 560 560 28}

231 -1,0000

_{224 249 -1541 29}

a = (X^TX)^-1 X^TY = ^{------ ------ --------} 155 = ^--- = -1,0357

^{560 560 560 28}

59 6,3214

_{-1456 154 1 9809 177}

^{------ ------ -------- ------}

^{560 560 560 28}

Równanie modelu jest ostatecznie takie:

y^*_i = 1x_1i - 1,0357x_2i + 6,3214 dla i = 1,2,...,10

Interpretacja współczynnika modelu:

Jeżeli wartość zainstalowanych maszyn i urządzeń nie ulegnie zmianie, a czas przestoju maszyn i urządzeń wzrośnie o 100 godzin to wartość produkcji zmaleje o 1,0357 mln zł.

Jeżeli wartość zainstalowanych maszyn i urządzeń wzrośnie o 1 mln zł, a średni czas przestoju maszyn i urządzeń nie ulegnie zmianie to wartość produkcji wzrośnie o 1 mln zł.

Wartość produkcji wynosi 6,3214 mln zł.

231

a^T X^Ty = (1; -1,0357; 6,3214) 155 = 231 - 1,0357 * 155 + 6,3214 * 59 = 443,4291

59

1

Wariancja resztowa S²u = --------- [ 445 - 443,4291 ] = 0,2244

10 - 3

√ S²u = √0,2244 = 0,4737

Wartości rzeczywiste rozmiarów produkcji różnią się od wartości teoretycznych o ± 0,4737 mln zł.

Zbadać czy występują wahania przypadkowe w rozważanym modelu. W tym celu obliczamy współczynnik zmienności resztowych wg wzoru:

S (u)

Vu = -_­­­-_--- ^. 100%

y

_ ₅₉

Σ y_i = 59 n = 10 y = ---- = 5,9

¹⁰

0,4737

Vu = -_­­­--------- ^. 100% = 8,03%

5,9

Wahania przypadkowe stanowią 8,03% średniego poziomu rozmiarów produkcji.

Zbadać dokładność modelu:

(10 - 3) 0,2244 7 * 0,2244

ϕ² = ---------------------- = --------------- = 0,0162

445 - (59)²/10 445 - 348,1

ϕ² * 100% = 1,62%

Możemy stwierdzić, że 1,62% rozmiarów produkcji nie zostało wyjaśnione przez powyższy model.

R² = 1 - 0,01623 = 0,9838

R² * 100% = 98,38%

98.38% wartości rozmiarów produkcji zostało wyjaśnione przez powyższy model.

Znaczenie błędów szacunku parametrów modelu: błędy szacunku parametrów modelu wyznacza się na podstawie macierzy

D² (a) = S²u (X^TX)^-1

_{224 224 -1456}

^{------ ------ --------}

^{560 560 560}

0,08976 0,08976 -0,5834

_{224 249 -1541}

D² (a) = 0,2244 ^{------ ------ --------} = 0,08976 0,09978 -0,6175

^{560 560 560}

-0,58344 -0,6175 3,9306

_{-1456 154 1 9809}

^{------ ------ --------}

^{560 560 560}

Błąd szacunku parametrów

D² (a) = √D²(a_i)

i - ty element diagonalny powyższej macierzy

D(a₁) = √0,08976 = 0,2993

D(a₂) = √0,09978 = 0,3159

D(a₃) = √3,9306 = 1,9826

Ostatecznie powyższy model zapisać można w postaci:

y*_i = 1,0000 x_1i - 1,0357x_2i + 6,3214

(0,2996) (0,3159) (1,9826)

Su = 0,4737

ϕ² = 0,0162

BADANIE ISTOTNOŚCI WPŁYWU POSZCZEGÓLNYCH ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH NA ZMIENNĄ ENDOGENICZNĄ.

Zbadać czy zmienna objaśniająca X_i ma istotny wpływ na zmienna endogeniczna y.

Testujemy hipotezę H₀ określającą, że parametr przy zmiennej X_i jest = 0.

H₀: α_i = 0

H₁: α_i ≠ 0

H₀ mówi, że zmienna x_i nie ma istotnego wpływu na zmienną endogeniczną, a H₁ - zmienna x₁ ma istotny wpływ na zmienną endogeniczną.

W celu zweryfikowania H₀ wobec H₁ obliczamy wartość statystyki wg wzoru:

a_i

t_i = ------

D(a_i)

Następnie z tablic rozkładu t-studenta dla n - k stopni swobody odczytujemy wartość krytyczną t_α dla z góry zadanego poziomu istotności α.

Następnie porównujemy obliczoną wartość statystyki t_i z wartością krytyczną t_α.

Gdy t_i > t_α to H₀ odrzucamy na korzyść H₁ i wnioskujemy, że parametr α_i ≠ 0, a zatem zmienna x_i ma istotny wpływ na zmienną endogeniczną y.

Jeżeli natomiast t_i ≤ t_α to nie ma podstaw do odrzucenia H₀ , a zatem wnioskujemy, że zmienna x_i nie ma istotnego wpływu na zmienną endogeniczną y.

Zatem t nie bierzemy w dalszej analizie modelu.

Pytanie empiryczne:

Zbadać czy wartość zainstalowanych maszyn i urządzeń ma istotny wpływ na rozmiar produkcji.

W tym celu stosujemy hipotezę H₀

H₀: α₁ = 0

H₁: α₁ ≠ 0

a₁ 1

t₁ = ------ = ---------- = 3,3378

D(a₁) 0,2996

Wartość krytyczna dla α = 0,05 wynosi t_α = 2,0365

t₁= 3,3378 > 2,365 = t_0,05

Hipotezę H₀ odrzucamy na korzyść H₁ i wnioskujemy, że wartość zainstalowanych maszyn i urządzeń maja istotny wpływ na rozmiar produkcji.

Zbadać czy czas przestoju maszyn i urządzeń mają istotny wpływ na rozmiar produkcji.

H₀: α₂ = 0

H₁: α₂ ≠ 0

a₂ - 1,0357

t₂ = ------ = ---------- = -3,2786 t_0,005 = 2,365

D(a₂) 0,3159

t₂= -3,2786= 3,2786 > 2,365 = t_0,05

H₀ odrzucamy na korzyść H₁ i wnioskujemy, że czas przestoju maszyn i urządzeń maja istotny wpływ na wartość produkcji.

Aby stwierdzić czy dopasowanie oszacowanego modelu do danych empirycznych jest wystarczające można zweryfikować hipotezę o istotności współczynnika korelacji wielokrotnej.

Współczynnik korelacji wielokrotnej

R_w = √ R² określa korelację pomiędzy zmienną endogeniczną y , a wszystkimi zmiennymi objaśniającymi.

H₀: R_w = 0

H₁: R_w ≠ 0

W celu zweryfikowania tej hipotezy obliczamy wartość statystyki F wg wzoru:

R²_w n - k

F = ---------- * -------

1 - R²_w k - 1

współ. determinacji

Z tablic rozkładu F. Fishera - Snadecora o k-1 i n-k stopniach swobody odczytujemy wartość krytyczną F_α.

Następnie porównujemy wartość obliczoną F z wartością krytyczną F_α.

Gdy F > F_α to H₀ odrzucamy na korzyść H₁ i wnioskujemy, żę wszystkie zmienne mają istotny wpływ na zmienną endogeniczną, albo że dopasowanie modelu jest wystarczające.

Gdy F ≤ F_α to możemy stwierdzić, że dopasowanie modelu nie jest wystarczające.

_{0,9838 10 - 3}

F = ------- * ------- = 212,549

^{0,0162 3 - 1}

α = 0,05

F_0,05 = 4,74

F = 212,549 > 4,74 = F_0,05

Dopasowanie modelu jest wystarczające.

Wykład III - (12.04.2003)

Założenia MNK:

1. rozkład reszt jest losowy

2. rozkład reszt jest symetryczny

3. nie występuje autokorelacja składnika reszt

4. wariancja składnika reszt jest jednorodna

5. rozkład reszt jest normalny.

BADANIE AUTOKORELACJI RESZT

Mówimy, że występuje autokorelacja rzędu I, jeżeli zachodzi związek:

ξ_t = σ ξ_t-1+ η_t

Jeżeli zachodzi korelacja między zmienną w czasie t i w czasie posuniętym o 1 jednostkę do tyłu

wsp. autokorelacji liczymy wg wzoru

E(ξ_t * ξ_t-1) - E(ξ_t) * E(ξ_t-1)

P₁ (ro) = -----------------------------------

D(ξ_t) D(ξ_t-1)

Rozważać będziemy hipotezę:

H₀: ς₁ = 0

H₁: ς₁ ≠ 0

Test służący do weryfikowania tej hipotezy to test Durbina - Watsona

Na podstawie tych reszt wyznaczonych z modelu obliczamy wartość statystyki „d” wg wzoru:

_n

Σ (u_t - u_t-1)²

d = --^{t = 2}--------------

Σ u²_t

^{t = 1}

u_t - reszty dla danego modelu ekonometrycznego

Następnie w zależności od wartości statystyki „d” stawiać będziemy różne hipotezy alternatywne

Z tablic testu Durbina -Watsona odczytujemy 2 wartości krytyczne d_z i d_u.

d ∈[0 , 4]

1. ς₁ > 0 ↔ d∈ [0,2]

2. ς₂ < 0 ↔ d∈ (2,4]

Z tablic rozkładu Durbina-Watsona odczytujemy dwie wielkości d_u i d_L dla z góry zadanego poziomu istotności α i dla ustalonej liczby zmiennych objaśniających „K”.

Obliczoną wartość statystyki d porównujemy z wartościami krytycznymi d_L i d_u.

odrzucamy H₀ NIC nie ma podstaw do odrzucenia H₀

+

• •

d_z d_u

(ς₁ > 0) Wniosek (ς₁ = 0)

odrzucamy model NIC brak autokorelacji reszt

W przypadku kiedy występuje autokorelacja ujemna czyli gdy d >2 obliczamy statystykę d' wg wzoru:

d' = 4 - d i postępujemy dalej tak jak poprzednio

Przykład 2:

Na podstawie danych z przykładu 1 zbadajmy czy reszty modelu wykazują autokorelację.

Yi koszty całkowite w mln zł	Xi skala produkcji w tys. szt	yi^*	u^t reszta	ut - 1	(ut - ut-1)^2	u^2t
11	1	12	-1	-	-	1
13	1	12	1	-1	4	1
16	2	14	2	1	1	4
12	2	14	-2	2	16	4
13	3	16	-3	-2	1	9
19	3	16	3	-3	36	9
22	4	18	4	3	1	16
14	4	18	-4	4	64	16
15	5	20	-5	-4	1	25
25	5	20	5	-5	100	25
28	6	22	6	5	1	36
16	6	22	-6	6	144	36
17	7	24	-7	-6	1	49
31	7	24	7	-7	196	49
34	8	26	8	7	1	64
18	8	26	-8	8	256	64
			0		823	408

_n

Σ (u_t - u_t-1)²

d = --^{t = 2}--------------

Σ u²_t

^{t = 1}

₈₂₃

d = ----- = 2,017

⁴⁰⁸

d > 2 zatem rozważamy H₁: ς₁ < 0

d' = 4 - 2,017 = 1,983

Z tablic odczytujemy dla 16 obserwacji (n=16) i jednej zmiennej objaśniającej (k=1) wartości d_L = 1,10 i d_u = 1,37

Ponieważ d' > d_u więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej ς₁ = 0 (autokorelacja nie jest istotna - nie wystepuje).

W takim razie założenie dotyczące autokorelacji reszt w metodzie MNK jest spełnione

Zadanie: czy reszty maja charakter losowy

TEST serii:

H₀: reszty modelu są losowe

H₁: reszty modelu nie są losowe.

Jeśli reszta jest dodatnia to przyporządkowujemy jej symbol A,

jeśli reszta jest ujemna to przyporządkowujemy jej symbol B.

W ten sposób otrzymujemy ciąg symboli A i B.

Jeżeli dany podciąg tego ciągu tego ciągu składa się z samych symboli A lub samych symboli B to uważamy go za 1 serię.

Oznaczamy przez C empiryczną liczbę serii.

Niech:

n₁ - liczba reszt dodatnich

n₂ - liczba reszt ujemnych

Z tablic dla testu serii dla powyższych liczb n₁ i n₂ i dla poziomu istotności α/2 i 1-α/2 odczytuje się dwie wartości krytyczne C₁ i C_2.

odrzucamy H₀ nie ma podstaw do odrzucenia H₀ odrzucamy H₀

• •

C₁ C₂

C₁ i C₂ mieszczą się w obszarze do odrzucenia. W przypadku odrzucenia H₀ stwierdzamy, że reszty nie mają rozkładu losowego i wtedy nic nie można stwierdzić (model jest źle dobrany).

C = 9

n₁ = 8

n₂ = 8

α = 0,025 C₁ = 4 C₂ = 13

nie ma podstaw do odrzucenia H₀, możemy stwierdzić że rozkład reszty jest losowy.

BADANIE SYMETRII ROZKŁADU RESZT.

Stosujemy test dla wskaźnika struktury i stawiamy H₀ i H₁

H₀: p = ½

H₁: p ≠ ½

W tym celu obliczamy statystykę t wg wzoru:

m/n - 1/2

t = --------------------

_{m/n (1 - m/n)}

√ ----------------

^{n - 1}

Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości H₀ i przy założeniu że próba jest mała rozkład t-studenta o m-1 stopniach swobody.

Natomiast w przypadku dużej próby rozkład normalny standardowy.

Z tablic tego rozkładu odczytujemy wartość krytyczną tα.

Gdy t> t_α to H₀ odrzucamy na korzyść H₁ i wnioskujemy, że reszty nie mają rozkładu symetrycznego.

Gdy t< t_α to nie ma podstaw do odrzucenia H₀ i wnioskujemy, że reszty mają rozkład symetryczny.

m - liczba reszt

n - ilość obserwacji

BADANIE JEDNORODNOŚCI WARIANCJI

Test Gordfielda - Quandta - test ten służy do badania jednorodności wariancji składnika resztowego.

Stawiamy hipotezę:

H₀: σ²₁ = σ²₂ (sigma)

H₁: σ²₁ > σ²₂ (sigma)

Postępowanie jest następujące:

Zbiór reszt dzielimy na 2 części o liczebnościach n₁ i n_2.

n/2 gdy n - parzyste

n₁ = n_{2 =}

(n-1)/2 gdy n - nieparzyste

Obliczamy wariancje resztowe:

Σ u²_t

S²u₁ = ------------

n₁ - (k+1)

Σ u²_t

S²u₂ = ------------

n₂ - (k+1) gdzie k - ilość zmiennych

Obliczamy wartość statystyki F wg wzoru:

S²u₁

F = -------

S²u₂ gdzie S²u₁ > S²u₂

Statystyka ta służy do weryfikowania hipotezy H₀ wobec H₁:

H₀: σ₁ = 0

H₁: σ₁ > 0

Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości H₀ rozkład F. Snedecora o (n₁ - (k+1)) stopniach swobody dla licznika

i (n₂ - (k+1)) stopniach swobody dla mianownika.

Z tablic tego rozkładu dla powyższej ilości stopni swobody i dla z góry zadanego poziomu istotności α otrzymuje się wartość krytyczną F_α tak, aby zachodził warunek:

F_α

P F ≥ F_α = α

Gdy F ≥ F_α to H₀ odrzucamy na korzyść H₁ i wnioskujemy, że wariancja składnika resztowego nie jest jednorodna. W tym przypadku zastosowanie metody MNK było niesłuszne.

Gdy F < F_α to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i wówczas wariancja składnika resztowego jest jednorodna, słuszne jest zastosowanie metody MNK.

Przykład:

Rozważmy model ekonometryczny postaci, gdzie:

y_i = 2,00 x₁ + 10,00 + u_i S²u = 29,1429

(0,589) (2,974)

Nr obserwacji	ut	u^2t	u^2t
1	-1	1	-
2	1	1	-
3	2	4	-
4	-2	4	-
5	-3	9	-
6	3	9	-
7	4	16	-
8	-4	16	-
9	-5	60	25
10	5		25
11	6		36
12	-6		36
13	-7		49
14	7		49
15	8		64
16	-8		64
			348

u_i = y_i - ŷ_i

y_i = 2x_i + 10

y_i - wartości empiryczne Y.

₁₆

Σ u²_i

S²u = -------------- = 29,1429

16 - (1+1)

H₀: σ²₁ = σ²₂

H₁: σ²₁ > σ²₂ i = 1,2,...,8

n₁ = n₂ = 8

₈

Σ u²₁ 1

S²u₁ = --------- = --------- * 60 = 10,00 i = 9,..., 16

8-2 8 - 2

₁₆

Σ u²₂ 1

S²u₂ = --------- = ------ * 348 = 58,00 i = 9,..., 16

8-2 6

S²u₁ 58,00

F = ------- = --------- = 5,8

S²u₂ 10,00

Jeżeli F > F_α H₀ odrzucamy na korzyść H₁i wnioskujemy, że wariancja nie jest jednorodna

Wariancja składnika resztowego nie jest jednorodna, nie można zastosować MNK.

BADANIE ISTOTNOŚCI WPŁYWU POSZCZEGÓLNYCH ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH NA ZMIENNĄ ENDOGENICZNĄ

Y_t = α₀ + α₁x₁ + ... + α_kx_k

Chcemy zbadać czy zmienna x_i ma istotny wpływ na zmienną endogeniczną y.

H_o: α_i = 0

H₁: α_i ≠ 0

H₀ mówi nam, że zmienna x_i nie ma wpływu na zmienna Y.

H₁ ma istotny wpływ na Y.

Do zweryfikowania H_o wobec H₁ służy tekst t_i postaci:

a_i - estymator parametru 2_i

t_i = ----------

D (a_i ) - błąd szacunku tego parametru

Z tablic rozkładu t-studenta odczytuje się wartość krytyczną t_α następnie porównujemy obliczoną wartość statystyki t_i z wartością t_α.

Gdy t_i > t_α α_i ≠ 0 to hipotezę H₀ odrzucamy na korzyść H₁ i wnioskujemy, że parametr α_i ≠ 0 , a zatem zmienna x_i ma istotny wpływ na zmienną y.

Gdy t_i ≤ t_α to nie ma podstaw do odrzucenia H₀ i wnioskujemy, że parametr α_i = 0, a co za tym idzie nie ma wpływu na zmienną y.

Y_i = 1,000x_1i - 1,0357x_2i + 6,3214

(0,2996) (0,3159) (1,9826)

1) Czy wartość zainstalowanych maszyn i urządzeń ma istotny wpływ na wielkość produkcji?

Będzie odpowiadać temu pytaniu hipoteza

H₀: α₁ = 0

H₁: α₁ ≠ 0

Obliczamy wartość t₁

a₁ 1,000

t₁ = ---------- = -------- = 3,3378

D (a₁ ) 0,2996

Wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu t-studenta dla poziomu istotności α = 0,05 i 7 stopni swobody wynosi t_u = 2,365

t₁ = 3,3378 > 2,365 = t_0,05

H_o odrzucamy na korzyść H₁ i wnioskujemy, że α₁ ≠ 0 , w takim razie wartość zainstalowanych maszyn i urządzeń ma istotny wpływ na wielkość produkcji.

2) Czy czas przestoju maszyn i urządzeń ma istotny wpływ na wielkość produkcji.

H₀: α₂ = 0

H₁: α₂ ≠ 0

Obliczamy wartość t₁

a_2, -1,0357

t₂ = ---------- = --------- = -3,2786

D (a₂ ) 0,3159

t_0,05 = 2,365

t₂ = -3,2786= 3,2786 < 2,365 = t_0,05

Zmienna określająca czas przestoju maszyn i urządzeń ma istotny wpływ na wielkość produkcji.

TREND LINIOWY I PROGNOZOWANIE ZA POMOCĄ TRENDU LINIOWEGO

Równanie trendu liniowego obliczamy na podstawie obserwacji zmiennej w przeszłości

T = n+1 (n+2, ..., n+h)

Y^*_T = a + bT -prognoza ta jest obarczona pewnymi błędami zwanymi ex ante i ex post

gdzie T - czas prognozy, czas w przyszłości

h - horyzont prognozy

Równanie trendu liniowego

ŷ_t = a + bt

gdzie t - czas zmieniający się od 1 do n t = 1,2,...n

określa zależność liniowa zmiennej objaśniającej od zmiennej czasowej t₁.

Współczynniki tego trendu są wyjaśnione MNK i maja postać:

_{n _}_ _

Σ(y_t - y )(t - t) _ _

b = ---^t=1-------_---------- a = y - bt

Σ (t - t)²

lub równoważną postać:

12Σy_t * t 6Σy_t _ _

b = -------------- - -------- a = y - bt

n³ - n n² -n

Średnie błędy szacunku współczynników trendu liniowego są następujące:

3,4641 s(u)

D(b) = ---------------

√n(n² -1)

_{2n + 1}

D(a) = 1,4142 √-------- s(u)

^{n (n-1)}

Σ(y_t - ŷ_t )²

S²u = -------------------

n - 2

s(u) = √ S²u gdzie S²u to wariancja resztowa

y_t - wartość empiryczna zmiennej y

ŷ_t -wartość teoretyczna zmiennej y, wyznaczona na podstawie równania trendu

Prognoza zmiennej Y wyznaczona na podstawie trendu liniowego wynosi:

Y_T^* = a + bT

Prognoza ta obarczona jest błędami zwanymi błędami eksante.

Rozróżniamy 2 rodzaje błędów eksante:

1. błąd bezwzględny eksante

2. błąd względny eksante

Błąd bezwzględny ex ante jest określany wobec wzoru:

_

1 (T - t )²

D_T = s√ 1 + --- + -------_--- gdzie s = s(u)

n Σ(t - t)²

Interpretacja: rzeczywiste wartości zmiennej prognozowanej odchylają się od prognoz ± D_T.

Błąd względny ex ante

D_T

V_T = ------ * 100%

Y_T^*

Interpretacja: określa jaki popełniamy błąd w prognozowaniu w stosunku do jednej jednostki prognozy.

Często przyjmujemy, że w prognoza jest dopuszczalna gdy V_T ≤ 5%

Przykład:

ŷ_t= a₀ + a₁t

_ _

a₀ = y - a₁t

12 ∑y_t * t 6∑ y_t

a₁ = -------------- - ---------

n³ - n n² - n

Średnie wartości akcji od 01 do 09 wynoszą:

Czas t	Yt	Yt * t
1	5	5
2	6	12
3	8	24
4	7	28
5	9	45
6	10	60
7	11	77
8	12	96
9	13	117
45	81	464

_ 45

t = ---- = 5

9

średnia wartość akcji w tych miesiącach

_ 81

y = ---- = 9

9

12 * 464 6 * 81

a₁ = ------------- - --------- = 1

9³ - 9 9² - 9

a₀ = 9 - 1*5 = 4

Ŷ_t = 4 + t równanie przedstawia wielkość produkcji w latach 1992 - 2000

Wyznaczamy prognozę akcji na rok 2001 i 2002:

T = 10 n = 9

Y^*₁₀ = 4 + 10 = 14 Y^*₁₁ = 4 + 11 = 15 Prognoza produkcji na 2001 wynosi 14 mln zł a na 2002 15 mln zł.

Ŷ_t = 4t _

Czas t	Yt	Ŷt	ut = Yt - Ŷt	u^2t	(t - t)^2
1	5	5	0	0	16
2	6	6	0	0	9
3	8	7	1	1	4
4	7	8	-1	1	1
5	9	9	0	0	0
6	10	10	0	0	1
7	11	11	0	0	4
8	12	12	0	0	9
9	13	13	0	0	16
-	-	-	Σ0	Σ2	Σ60

Obliczenie wariancji resztowej dla tego trendu

Σ u²_t

S²u = ----------------

9 - 2

gdyż występują 2 parametry w trendzie liniowym

2 2

S²u = ------ = ---- = 0,29

1. 7

s(u) = √0,29 = 0,54

Wartości teoretyczne akcji wyznaczonej z trendu liniowego różnią się od wartości empirycznych o ± 0,54 złotówki.

(10 + 5)²

D₁₀ = 0,54 √ 1 + 1/9 + -----------

60

D_{T = 10} = 0,666

Prognoza wartości produkcji na 2001r wynosi: 14 zł ± 0,66 złotówki.

Czy ta prognoza jest dopuszczalna?

0,666

V_{T = 10} = -------- * 100% = 4,7% - błąd jaki popełniamy w stosunku do 1 mln produkcji w roku 2001 wynosi 4,7%

14

Powyższa prognoza jest dopuszczalna bo jest poniżej 5%.

Σ y_t

X^TY = Σ x_1t y_t

Σ x_2t y_t suma y jest w wektorze na początku gdy wyraz wolny jest na początku, suma y jest na końcu gdy wyraz wolny jest na końcu.

TRENDY KRZYWOLINIOWE

W przypadku gdy rozwój danego zjawiska odbywa się w tempie przyspieszonym np. gdy nowy wyrób zdobywa rynek i jego sprzedaż rośnie coraz szybciej do opisu tendencji rozwojowej można wykorzystać następującą funkcję:

• funkcja wykładnicza o postaci

Y = e ^{α + βt} gdzie β > 0

lub Y = αβ^t β > 1

• funkcja potęgowa o postaci

Y = αt^β β > 1

• funkcja paraboliczna

Y = α₀ + α₁t + α₂t₂ gdzie α ₂ > 0

Jeżeli obserwuje sie, że w długim okresie czasu wzrost zjawiska jest coraz wolniejszy (np. kształtowanie się popytu na wybrane dobro gdy zwiększa się nasycenie rynku) do opisu jego kształtowania się można zaproponować funkcje logarytmiczną bądź potęgową o potędze mniejszej od 1.

1. logarytmiczna

Y = α + βlnt gdzie β >0

2. potęgowa

Y = αt^β gdzie 0 < β < 1

W praktyce życia gospodarczego występują również takie zjawiska, które charakteryzują się coraz wolniejszym wzrostem z jednoczesnym dążeniem do pewnego poziomu. W takich przypadkach występuje funkcja liniowo odwrotnościowa o postaci:

αt

Y = --------

β + t gdzie α, β > 0

3

---