Naprężenie to miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie w dowolnym punkcie zależy od kierunku, w którym jest rozpatrywane. Mimo iż pole powierzchni przekroju A dąży do zera, czyli przekrój dąży do punktu, istotne jest jaki kierunek miała normalna do powierzchni przekroju:

gdzie: s - wektor naprężenia, F - wektor sił wewnętrznych w ciele działających w przekroju, A - pole przekroju.

Wektor naprężenia występujący w dowolnym przekroju można rozłożyć na dwie składowe:

gdzie: σ - składowa normalna (prostopadła do powierzchni), n - wektor normalny do powierzchni, τ - składowa ścinająca (równoległa do powierzchnii).

[edytuj]

Kartezjański układ współrzędnych

Wprowadzając w dowolnym punkcie1 ciała, w którym występuje stan naprężenia, trzy przekroje prostopadłe do osi współrzędnych dowolnie zorientowanego prostokątnego układu współrzędnych, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia, są to kolejno: σx, τxy, τxz, σy, τyx, τyz, σz, τzx, τzy.

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest od punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Należy zwrócić uwagę, że na przykład dla powierzchni "górnej" (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi z zachodzi:

gdzie: k=n - wersor osi z, a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni; i, j - wersory osi odpowiednio x i y.

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące warunki:

τxy = τyx

τxz = τzx

τyz = τzy

W rozważanym punkcie można tak zorientować układ współrzędnych, iż naprężenia styczne równe są zero i występują wyłącznie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia.

1 Rozważając punkt ma się na myśli sześcian elementarny o nieskończenie małej krawędzi.

Zapis tensorowy

Naprężenie w oderwaniu od kierunku powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ. W każdym przypadku możliwe jest takie dobranie tensora naprężenia, aby prawdziwa była równość:

gdzie: g - wektory bazowe układu współrzędnych lub w notacji tensorowej:

Dowodzi się z prawa zachowania momentu pędu, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: σij = σji

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

Gdzie:

σx, σy, σz - składowe normalne

τxy, τxz, τxy - składowe ścinające

---