Przykład 9.1.

Obliczyć funkcję sił wewnętrznych w ustroju prętowym
pokazanym na rysunku

Dane:

P

a

P

a

= 50kN

P

b

1 P

b

= 70kN

P

c

= 90kN

P

c

x

1

4 l

12

= 0,80m

α α l

23

= 0,60m

γ l

34

= 0,40m

2

β 3 x

3

γ

x

2

β

1. W zadanym układzie prętowym wyróżniamy cztery punkty charakterystyczne 1,2,3,4 i

trzy przedziały charakterystyczne (1,2), (2,3), (3,4). W poszczególnych przedziałach
charakterystycznych wprowadzamy początki układów współrzędnych w punktach
1,2,3.

2. Ze względu na znaną wartość wszystkich sił zewnętrznych w punkcie 1 reakcji nie ma

potrzeby obliczać.

3. Po przecięciu pręta przekrojem

α - α obliczono siły wewnętrzne analizując stan

równowagi części pręta między punktem 1 i przekrojem

α-α. Oś x

1

wybrano wzdłuż

prostej (1,2) od punktu 1 do przekroju

α-α, podobnie postąpiono w drugim przedziale

charakterystycznym na części pręta (2,3) i trzecim na części pręta (3,4).

4. Pisząc warunki równowagi (trzy sumy rzutów sił i trzy sumy rzutów momentów)

wyznaczono funkcje sił wewnętrznych

Siły wewnętrzne w przekroju

α-α Siły wewnętrzne w przekroju β-β

równoważą siły zewnętrzne przyłożone równoważą siły zewnętrzne przyłożone
do odciętej części pręta od punktu 1 do odciętej części pręta od punktu 1
do przekroju

α-α do przekroju β-β

P

a

P

a

P

b

1 P

b

1
P

c

x

12

P

c

x

23

y

1

z

Siły wewnętrzne
w przekroju

α - α

1

z

1

2

lewoskrętny

x

1

układ współ. y

2

lewoskrętny

w części układ współ.
1 -

α-α x

2

w części

z

2

2 -

β-β

N (x

12

) = - P

a

= -50 kN N (x

23

) = + P

b

= +70 kN

Siły wewnętrzne
w przekroju

β - β

M

s

(x

12

) = 0 M

s

(x

23

) = + P

c

· l

12

= 90 · 0,80 = +72 kNm

T

y

(x

12

) = +P

c

= +90 kN T

y

(x

23

) = + P

c

= +90 kN

M

gz

(x

12

) = +P

c

· x

12

= +90· x

12

M

gz

(x

23

) = +P

c

· x

23

= + 90 · x

23

T

z

(x

12

) = -P

b

= -70 kN

T

z

(x

23

) = -P

a

= - 50 kN

M

gy

(x

12

) = + P

b

· x

12

= +70· x

12

M

gy

(x

23

) = +P

b

· l

12

+ P

a

· x

23

= 56 + 50 · x

23

1

P

a

P

b

1

2

P

c

x

3

lewoskrętny

l

AB

układ współ.

y

3

w części

2 l

BC

3 x

34

z

3

3 -

γ-γ

Siły wewnętrzne
w przekroju

γ - γ

N (x

34

) = + P

c

= +90 kN

M

s

(x

34

) = +P

a

· l

23

+ P

b

· l

12

= +50 · 0,6 + 70 · 0,8 = + 86 kNm

T

y

(x

34

) = -P

b

= -70 kN

M

gz

(x

34

) = -P

b

· x

34

+ P

c

· l

23

= - 70 · x

34

+ 54 kNm

T

z

(x

34

) = -P

a

= -50 kN

M

gy

(x

34

) = + P

a

· x

34

+ P

c

· l

12

= +50· x

34

+ 90· 0,8 = 72 +50· x

34