Zadanie 48. (Całka oznaczona, definicje, własności, zastosowanie.)
DEFINICJA CAŁKI OZNACZONEJ
Wiemy (por. zadanie 47. o całce nieoznaczonej), że jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) ciągłej w pewnym przedziale, to każda funkcja pierwotna funkcji f(x) w tym przedziale ma postać F(x) + C, gdzie C jest stałą. Wynika stąd, że różnica
F(x2) - F(x1)
w punktach x2 i x1 rozpatrywanego obszaru jest taka sama dla każdej funkcji pierwotnej F funkcji f. Różnicę tę nazywamy całką oznaczoną funkcji f od x1 do x2 i oznaczamy symbolem
[A]
Mamy więc dla każdej funkcji f ciągłej w przedziale
:
[B]
co zapisujemy także
lub
i czytamy: całka oznaczona funkcji f(x) dx w granicach od x1 do x2 równa się F(x) z podstawieniem górnym x2 i dolnym xi.
Dokładna definicja całki oznaczonej jest bardziej rozbudowana:
Weźmy pod uwagę funkcję f(x), o której będziemy stale zakładali, że jest ograniczona w przedziale domkniętym
, tzn. dla
.
Dokonajmy różnych podziałów P1, P2,..., Pm, ... przedziału
na części. Niech podział Pm będzie osiągnięty przy pomocy nm - 1 liczb
, przy czym
,
gdzie dla ułatwienia oznaczyliśmy liczbę a jako
, a liczbę b jako
. Będziemy nazywali przedziały
, gdzie
, przedziałami cząstkowymi podziału
, a ich długości
oznaczali przez
. Niech
oznacza największą z liczb
, czyli długość najdłuższego przedziału cząstkowego podziału
. Ciąg podziałów
nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżeli
.
Utwórzmy sumę
iloczynów wartości funkcji
w dowolnym punkcie
przedziału
przez długości
tych przedziałów przy podziale
:
[C]
Jeżeli ciąg
dla
jest zbieżny i do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów
niezależnie od wyboru punktów
, to funkcję
nazywamy funkcją całkowalną w przedziale
, a granicę ciągu [C] nazywamy całką oznaczoną funkcji
w granicach od a do b i oznaczamy symbolem
[D]
Można wykazać, że jeżeli przy jakimś ciągu normalnym podziałów ciąg
ma granicę niezależną od wyboru punktów
, to funkcja
jest całkowalna.
Jednym z prostych sposobów tworzenia ciągu normalnego podziałów jest kolejne przepoławianie przedziałów cząstkowych; wówczas
,
.
Można również wykazać, że funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna, a nawet ogólniej, że funkcja ograniczona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów jest całkowalna.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ
Jeżeli w przedziale
jest
, to pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej
, odcinkiem osi Ox oraz prostymi x = a i
x = b równa się całce oznaczonej
Jeżeli zaś w przedziale
jest
, to analogiczne pole równa się
Zawsze więc pole wyżej określonego obszaru można wyrazić całką oznaczoną
Przez
, gdzie a > b, rozumiemy całkę
.
Przyjmujemy również, że
WŁASNOŚCI CAŁKI OZNACZONEJ
Addytywność całek oznaczonych względem przedziału całkowania.
[E]
Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki oznaczonej.
[F]
W szczególności, gdy k = -1
Całka sumy równa się sumie całek.
[G]
Jest to tzw. addytywność całki względem funkcji podcałkowej.
Całka oznaczona posiada więc własność tzw. liniowości ( własność 2. i 3.). Wzory powyższe należy rozumieć w ten sposób, że z istnienia całek po prawej stronie wynika istnienie całki po lewej stronie oraz podana równość.
Prawdziwy jest wzór:
[H]
gdzie K jest pewną liczbą, spełniającą nierówność
, przy czym m oznacza kres dolny, a M kres górny funkcji f(x) w przedziale
.
Na podstawie własności Darboux mówiącej, że funkcja ciągła przybiera wszystkie wartości pośrednie między swymi kresami górnym i dolnym, wzór ten może przyjąć postać
[I]
gdzie c jest pewną liczbą, spełniającą nierówność
, jeżeli funkcja podcałkowa f(x) jest ciągła w przedziale
.
Całka jako funkcja górnej granicy.
Jeżeli funkcja f(t) jest ciągła w przedziale
, to funkcja
[J]
jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale
i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek
[K]
Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną.
Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale
, tzn. jeżeli
, to ma miejsce wzór
, [L]
przy czym oczywiście różnica
nie zależy od stałej całkowania C.
Wzór [L] nazywamy wzorem Leibniza-Newtona.
Uwaga. Prawą stronę powyższego wzoru oznacza się symbolem
lub
[M]
Całkowanie przez części dla całek oznaczonych.
Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to
[N]
Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznaczonych.
Całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych.
Jeżeli g'(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale
, a f(u) funkcją ciągłą w przedziale
, to zachodzi następujący wzór:
[O]
Jest to wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych.
Jeżeli funkcja g różni się od funkcji h, całkowalnej na odcinku
, tylko dla skończenie wielu argumentów z tego przedziału, to funkcja g również jest całkowalna i
[P]
Wnioski:
1°. Funkcja nieciągła tylko dla skończenie wielu punktów przedziału
i ograniczona w tym przedziale jest na nim całkowalna.
2°. Dla całkowalności funkcji ograniczonej w przedziale nie są istotne ani jej wartości, ani nawet określoność w końcach tego przedziału.
3°. Funkcja nieograniczona nie jest całkowalna (uwaga ta nie dotyczy tzw. całki niewłaściwej).
Znajdowanie długości łuku krzywej
w przedziale
.
długość
gdzie
[R]
Dla krzywej danej w postaci parametrycznej x = x(t), y = y(t),
mamy:
gdzie
[S]
Interpretacja fizyczna:
1°. Wiemy, że prędkość v(t) punktu P poruszającego się po osi OS jest pochodną drogi s(t) względem czasu t.
Droga S(t) jest więc funkcją pierwotną prędkości; stąd
2°. Praca jako całka siły. Niech f(s) oznacza miarę na osi OS wektora siły działającej na masę umieszczoną w punkcie o współrzędnej s. Praca wykonana przez tę siłę na przesunięcie masy z położenia
w położenie
, równa jest całce funkcji f(s) od
do
.
praca
Przykład 1.
Odp.
.
Przykład 2.
Obliczyć pole ograniczone łukiem cosinusoidy y = cos x od
do
i osią Ox.
pole
Odp. 2.
Przykład 3.
Obliczyć
.
Rozwiązanie: Stosujemy wzór [N] na całkowanie przez części i otrzymujemy
Odp. 1.
Przykład 4.
Obliczyć
.
Rozwiązanie: Stosując wzór [O] na całkowanie przez podstawienie i przyjmując sin x = u
otrzymujemy
Odp.
.
Uwaga: Przykłady 3 i 4 można też rozwiązać obliczając najpierw całki nieoznaczone, a następnie skorzystać ze związku [L].
Przykład 5.
Obliczyć pole ograniczone liniami:
oraz y = x
Rozwiązanie: Sporządzamy rysunek
Szukane pole S jest różnicą 2 pól: trójkąta OAB i figury ograniczonej osią Ox, prostą x = 4 i krzywą
. Stąd
Odp.
.
Przykład 6.
Obliczyć pole ograniczone łukiem paraboli
oraz prostą x = 8.
Rozwiązanie: Ze względu na symetrię paraboli
względem osi Ox wystarczy obliczyć pole ograniczone osią Ox, prostą x = 8 i łukiem paraboli w pierwszej ćwiartce i otrzymany wynik podwoić.
Obliczamy całkę oznaczoną
Odp.: Poszukiwane pole wynosi
.
Opracował: Jakub Marszałkiewicz IVa.
8