plik


��PACSTWOWA WY{SZA SZKOAA ZAWODOWA W CHEAMIE INSTYTUT NAUK TECHNICZNYCH Laboratorium Mechaniki PByn�w wiczenie 5 Badanie przepBywu w warstwie przy[ciennej. OpracowaB: dr in|. Dariusz Mika 1. Wprowadzenie teoretyczne. POJCIE WARSTWY PRZYZCIENNEJ Wystpujce w technice przepBywy pByn�w lepkich s przepBywami, w kt�rych siBy tarcia s maBe w por�wnaniu z siBami bezwBadno[ci. Woda i powietrze - pByny, z kt�rymi najcz[ciej spotykamy si w r�|nych zagadnieniach technicznych - odznaczaj si maB lepko[ci, a zatem ju| przy stosunkowo niewielkich prdko[ciach otrzymujemy podczas ich przepByw�w du|e warto[ci liczby Reynoldsa. W r�wnaniach Naviera-Stokesa, w miar zwikszania si liczby Reynoldsa, wyrazy zale|ne od lepko[ci staj si coraz mniejsze w por�wnaniu z wyrazami bezwBadno[ciowymi, a dla liczb Reynoldsa Re �� �� , wyrazy te d| do zera, a r�wnania ruchu nie r�|ni si ju| od r�wnaD dotyczcych pBynu doskonaBego. W odr�|nieniu od pBynu doskonaBego (a wic nielepkiego), w kt�rym tylko skBadowa normalna prdko[ci musi znika na nieprzepuszczalnej [cianie, w pBynie lepkim r�wnie| skBadowe styczne prdko[ci znikaj na tego rodzaju [cianie. Warunki te nie zale| od prdko[ci pBynu w punktach odlegBych od granicy. Oznacza to, |e podczas przepBywu pBynu pseudodoskonaBego (tzn. z du| prdko[ci) siBy lepko[ci s dominujce w pobli|u [ciany sztywnej (lub granicy r�|nych pByn�w), chocia| w gB�wnej masie pBynu dominuj siBy bezwBadno[ci. Rozwizanie tego problemu polega na podzieleniu caBego obszaru poruszajcego si pBynu na dwa nier�wne podobszary (rys. 1.) i prowadzeniu rozwa|aD osobno dla ka|dego z nich. PodziaB ten - zaproponowany przez Prandtla - polega na wprowadzeniu podobszaru, w kt�rym siBy lepko[ci s caBkowicie pomijalne, oraz drugiego, w kt�rym ich wpByw jest decydujcy. Rys. 1. Obraz warstwy przy[ciennej. Warstw pBynu poruszajc si blisko granicy o[rodk�w (np. [ciany) nazywa si warstw przy[cienn. Przez to pojcie rozumiemy zar�wno warstw przy[cienn tworzc si na opBywanej nieprzenikliwej powierzchni, jak i warstw graniczn tworzc si w przepBywie swobodnym otoczonym przepBywem potencjalnym (struga zatopiona, [lad za opBywanym ciaBem). W warstwie przy[ciennej wystpuj intensywne zmiany prdko[ci od zera na [cianie do warto[ci r�wnej prdko[ci pBynu poza ni. Midzy warstw przy[cienn a gB�wn mas pBynu nie ma wyraznego rozgraniczenia, tote| nie mo|na [ci[le zdefiniowa zasigu warstwy. Zwykle przyjmuje si, |e warstwa przy[cienna siga do miejsca, w kt�rym prdko[ jest o 1% mniejsza od prdko[ci przepBywu potencjalnego, tj. prdko[ci, jaka ustaliBaby si w tym punkcie podczas przepBywu pBynu doskonaBego. d� Grubo[ci warstwy przy[ciennej nazywa si tak odlegBo[ od powierzchni ciaBa, dla kt�rej zmiana prdko[ci przepBywu w kierunku prostopadBym do powierzchni [ciany jest w przybli|eniu r�wna zeru. Grubo[ tej warstwy narasta stopniowo w miar oddalania si (w kierunku przepBywu) od krawdzi natarcia (miejsca podziaBu strug opBywajcych ciaBo) - rys. 1. Poza warstw przy[cienn le|y podobszar, w kt�rym siBy masowe (bezwBadno[ci) dominuj nad siBami lepko[ci i w zwizku z tym pByn uwa|a si za doskonaBy. Podczas rozwa|ania przepBywu wok�B [cian o ksztaBtach regularnych przyjmuje si, |e poza warstw przy[cienn przepByw ksztaBtuje si tak jak w ruchu potencjalnym. R�WNANIA PRZEPAYWU W LAMINARNEJ WARSTWIE PRZYZCIENNEJ W celu wyznaczenia parametr�w przepBywu w pobli|u [cian nale|y uwzgldni lepko[ pBynu i rozwiza r�wnanie ruchu w postaci Naviera-Stokesa. Wobec maBej grubo[ci warstwy przy[ciennej, w por�wnaniu z dBugo[ci opBywanej [ciany ( d� / l <�<�1 ), r�wnania Naviera- Stokesa sprowadza si w rozwa|anym przypadku do uproszczonej postaci, zwanej r�wnaniami Prandtla. ZakBada si pBaski ustalony przepByw pBynu nie[ci[liwego wok�B gBadkiej nieruchomej V�� [ciany, opBywanej przez pByn z prdko[ci . Pomija si siBy ci|ko[ci, a przepByw poza warstw traktuje jako potencjalny. Rozwa|my opByw pBaskiej poziomej [ciany o skoDczonej dBugo[ci l - w kierunku osi x (rys. 1), bdcym kierunkiem przepBywu swobodnego - i nieskoDczonej, w poprzecznym kierunku z, tzn. -� �� <� z <� +�� >. Wtedy dla x <� 0 przepByw nie jest zaburzony obecno[ci [ciany. R�wnania Naviera-Stokesa oraz cigBo[ci przepBywu przybieraj posta �� �� ��vx ��vx ��2vx ��2vx �� 1 ��p �� vx +� vy =� -� +�n� +� , lepko �� ��x ��y r� ��x ��x2 ��y2 �� �� �� �� �� ��vy ��vy 1 ��p ��2vy ��2vy �� �� vx +� vy =� -� +�n� +� lepko , (1) �� ��x ��y r� ��y ��x2 ��y2 �� �� �� ��vx ��vy +� =� 0 . ��x ��y gdy| prdko[ nie zmienia si w kierunku osi z. ZcisBe rozwizanie tego ukBadu r�wnaD r�|niczkowych jest zagadnieniem b. trudnym. Wprowadzajc jednak pewne zaBo|enia oraz oszacowujc rzd wielko[ci poszczeg�lnych skBadnik�w r�wnaD i odrzucajc skBadniki ni|szego rzdu, ukBad r�wnaD przyjmuje posta ��vx ��vx ��2vx 1 ��p vx +� vy =� -� +�n� , lepko ��x ��y r� ��x ��x2 1 ��p 0 =� -� , (2) r� ��y ��vx ��vy +� =� 0 . ��x ��y Drugie z r�wnaD ukBadu (2) umo|liwia sformuBowanie wniosku, |e ci[nienie w warstwie przy[ciennej jest staBe wzdBu| normalnej do opBywanej powierzchni, ma wic t sam warto[ na powierzchni, co i na granicy warstwy. Wynika std dalszy wniosek, |e w podobszarze warstwy przy[ciennej ci[nienie jest wyBcznie funkcj zmiennej x, identyczn z funkcj okre[lajc ci[nienie na powierzchni opBywanej pBynem doskonaBym. Wnioski te, sformuBowane na podstawie rozwa|aD teoretycznych, zostaBy potwierdzone licznymi do[wiadczeniami. Po uwzgldnieniu drugiego r�wnania ukBadu (2) otrzymamy ostatecznie wspomniane wcze[niej r�wnania Prandtla ��vx ��vx 1 ��p ��2vx vx +� vy =� -� +�n�lepko , (3) ��x ��y r� ��x ��y2 ��vx ��vy +� =� 0 . ��x ��y R�wnania te, cho wyprowadzono je jako odnoszce si do pBaskiej pByty, s sBuszne i w bardziej og�lnych przypadkach dwuwymiarowych przepByw�w, z tym jednak, |e promieD krzywizny [ciany w ka|dym jej punkcie jest wielokrotnie wikszy od grubo[ci warstwy przy[ciennej w tym punkcie. Z drugiego r�wnania (2) wynika, |e ci[nienie nie zmienia si w poprzek warstwy przy[ciennej, a zatem, mimo jej istnienia, ci[nienie statyczne mo|na mierzy bezpo[rednio na opBywanej powierzchni. Metoda rozwizywania zagadnieD przepByw�w pByn�w lepkich, z wykorzystaniem koncepcji warstwy przy[ciennej i r�wnania Prandtla, polega na: �� Wyznaczeniu przepBywu pBynu nielepkiego wok�B ciaBa, a szczeg�lnie rozkBadu ci[nienia p(x) na [cianie. �� Rozwizaniu r�wnaD Prandtla z uwzgldnieniem wyznaczonego rozkBadu ci[- nienia i odpowiednich warunk�w brzegowych. Taka droga postpowania jest wprawdzie dokBadna, ale do[ uci|liwa. Nie bdzie zatem przedstawione rozwizanie ukBadu r�wnaD Prandtla, a jedynie zostan naszkicowane tylko gB�wne wyniki tego rozwizania. Rozwizanie ukBadu r�wnaD (3) umo|liwia znalezienie rozkBadu prdko[ci w warstwie przy[ciennej, a std napr|enia stycznego. W przypadku opBywu [ciany pBaskiej (lub o niewielkiej krzywiznie) mo|na pokaza, |e napr|enia styczne w warstwie przy[ciennej przyjmuj posta (spos�b wyprowadzenia tej zale|no[ci znajduje si w dodatku A do wiczenia). Jest to tzw. zale|no[ caBkowa Karmana d� d t� =� r�u(V�� -� u)dy (4) 0 �� dx 0 gdzie u=vx - prdko[ pByny wzdBu| pByty. Definiujc wielko[ �, nazywan liniow miar zmniejszenia strumienia pdu jako d� �� �� u u Q� =� ��V �� -� V�� �� ��1 ��dy �� �� �� 0 (5) zale|no[ caBkow Karmana mo|emy przedstawi w uproszczonej formie d 2 t� =� (V�� Q�) 0 dx (6) Grubo[ laminarnej warstwy przy[ciennej, obliczona dla bie|cej (lokalnej) liczby Reynoldsa V�� x Rex =� n� (7) wynosi 5x d� (x) =� Rex (8) 2. Cele wiczenia Celem wiczenia jest badanie warstwy przy[ciennej przy opBywie pBaskiej pBytki, wyznaczenie rozkBadu prdko[ci w tej warstwie oraz wyznaczenie napr|eD stycznych na powierzchni pBytki. 3. Zadania a) Wyznaczy profile prdko[ci u(y) w funkcji wysoko[ci y w warstwie przy[ciennej wzdBu| powierzchni pBaskiej pBytki , grubo[ warstwy przy[ciennej na ka|dej stacji pomiaru oraz lokaln liczb Reynoldsa, y /d� u /V�� b) Wyznaczy profile prdko[ci w bezwymiarowej formie versus c) Wyznaczy napr|enia styczne na powierzchni pBytki korzystajc z caBkowego wzoru Karmana 4 Przebieg wiczenia. wiczenie przeprowadzane jest z wykorzystaniem tunelu aerodynamicznego edukacyjnego Aerolab typu otwartego. W komorze testowej tunelu nale|y umie[ci pBask pBytk wyposa|on w specjalny pr�bnik (10-kanaBowy manometr) tzw. "mouse". Otwarte koDc�wki pr�bnika "mouse" umieszczone s kolejno na 0.018, 0.025, 0.030, 0.040, 0.060, 0.100, 0.120, 0.160, 0.200 cala od powierzchni pByty. Drugie koDc�wki pr�bnika nale|y podpina do multi-manometru tunelu. Drugie gaBzki manometru s otwarte do atmosfery w zwizku z tym manometr mierzy r�|nic ci[nienia caBkowitego na przekroju pomiarowym i ci[nienia atmosferycznego. Nale|y pamita o odpowiedniej konwencji znakowej odczytywania wysoko[ci sBupk�w cieczy w manometrach. Wysoko[ci powy|ej przyjtego poziomu zerowego bierzemy ze znakiem (-) (podci[nienie w stosunku do ci[nienia atmosferycznego) natomiast wysoko[ci poni|ej poziomu zerowego ze znakiem (+) (nadci[nienie). Aby obliczy ci[nienie dynamiczne w [ladzie aerodynamicznym otrzymane wyniki pomiaru ci[nienia nale|y odnie[ do ci[nienia statycznego sekcji testowej (ci[nienie dynamiczne jest r�|nic midzy ci[nieniem caBkowitym a ci[nieniem statycznym). Do otrzymanych wynik�w nale|y doda wic r�|nic midzy ci[nieniem otoczenia a ci[nieniem statycznym sekcji testowej D�pP0-�1 =� p0 -� pst . R�|nic tych ci[nieD odczytujemy korzystajc z sondy Prandtla umieszczonej w sekcji testowej tunelu. Otrzymane wyniki bd w�wczas stanowiBy ci[nienie dynamiczne pd3=�p+�pP0-1=(p-p0)+(p0-pst)=p-pst.. Za pomoc sondy Prandtla wyznaczamy dodatkowo ci[nienie dynamiczne przepBywu niezakB�conego pd�� =� 0,025r�H OgD�zP1-�2 . 2 Nale|y ustawi prdko[ na warto[ 15-20 m/s i przeprowadzi pomiary dla 3 pozycji zdefiniowanej na prowadnicy pr�bnika "mouse". Wyniki pomiaru wraz z odlegBo[ci otwor�w pomiarowych sondy od krawdzi pByty nale|y zapisa w tabelce wiczeniowej. 5. Opracowanie wynik�w pomiaru. Wyniki pomiar�w nale|y przedstawi w formie wykresu prdko[ci przepBywu u(y) versus odlegBo[ od powierzchni pByty y dla ka|dej stacji pomiarowej (zadanie a)). PrzykBadowy wykres tego rodzaju dla jednej stacji pomiarowej przedstawia rys. 2. Otrzymane profile prdko[ci odpowiadajce poszczeg�lnym stacjom nale|y przedstawi w formie wykresy z rys. 1. y vx Rys. 2. PrzykBad rozkBadu prdko[ci w warstwie przy[ciennej. Dla ka|dej stacji pomiarowej nale|y wyznaczy grubo[ warstwy przy[ciennej oraz lokaln liczb Reynoldsa. - wzory (7) i (6). W zadaniu b) nale|y wyznaczy profile prdko[ci w bezwymiarowej formie y /d� u /V�� versus (zadanie b)). PrzykBad tego typu wykresu zostaB przedstawiony na rys. 3. Rys. 3. PrzykBad profilu prdko[ci w warstwie przy[ciennej przedstawiony w y /d� formie bezwymiarowej versus u /V�� . Zadaniu c) polega na wyznaczeniu napr|eD stycznych na powierzchni pBytki z przybli|onego caBkowego wzoru Karmana. Warto[ pochodnej wyznaczamy w spos�b przybli|ony korzystajc z ilorazu r�|nicowego dla dw�ch kolejnych stacji pomiarowych. W�n -� W�n-�1 t� =� (9) 0 D�x d� gdzie: W�n =� r�u(V�� -� u)dy - caBka wystpujca we wzorze Karmana wyznaczona dla �� 0 n-tej stacji pomiarowej, D�x - odlegBo[ pomidzy dwiema kolejnymi stacjami pomiarowymi . Warto[ caBki wystpujcej we wzorze Karmana mo|emy wyznaczy stosujc np. metod trapez�w. d� n -�1 y� -�y�i i +�1 r�u(V�� -� u)dy �� r� +� )D�yi (10) ��(y� i �� 2 i =�1 0 gdzie: y�i =� u (V�� -� ui) - iloczyn wystpujcy pod caBk we wzorze Karmana; D�yi =� (yi +�1 -� yi ) - r�|nica odlegBo[ci midzy dwoma kolejnymi pr�bnikami sondy "mouse". Obliczenia napr|eD stycznych nale|y wykona dla dw�ch pocztkowych i dw�ch koDcowych stacji pomiarowych Literatura 1. Kabsch K, H. Szewczyk: Mechanika PByn�w, Oficyna Wydawnicza Politechniki WrocBawskiej, WrocBaw 2001. 2. Bukowski J, Kijkowski P.: Kurs mechaniki pByn�w, PWN, Warszawa 1980. PaDstwowa Wy|sza SzkoBa Zawodowa w CheBmie Laboratorium Mechaniki PByn�w Laboratorium mechaniki pByn�w, wiczenie nr 5 Temat wiczenia:  Badanie przepBywu w warstwie przy[ciennej." Imi i nazwisko Grupa Semestr/rok akademicki Prowadzcy Data wykonania wiczenia/godz. Ocena Zadanie do wykonania: 1. Wyznaczy profile prdko[ci u(y) w funkcji wysoko[ci y w warstwie przy[ciennej wzdBu| powierzchni pBaskiej pBytki , grubo[ warstwy przy[ciennej na ka|dej stacji pomiaru oraz lokaln liczb Reynoldsa, y /d� u /V�� 2. Wyznaczy profile prdko[ci w bezwymiarowej formie versus 3. Wyznaczy napr|enia styczne na powierzchni pBytki korzystajc z caBkowego wzoru Karmana V�� tot=.......[�C]; pot=...........[Pa]; q=......[Pa]; =......[m/s]; r� =� ..... r�H O =�1000 [kg/m3]; [kg/m3]; pow 2 D�pP0-�1 =� p0 -� p�� =� 0,025r�gD�zP0-�1 =� ..........; D�zP0-�1 - wysoko[ sBupa cieczy manometru odpowiadajca r�|nicy ci[nienia atmosferycznego i ci[nienia statycznego sekcji testowej [cal]. Tabela wiczeniowa do zadanie a) i b) Stacja pomiarowa nr 1. x1=.......[mm]; piDyn =� 2 pidyn y� =� D�yi ui =� y� -�y� i i +�1 i r� (y� +� )D�yi yi D�z 0,025r�H gD�z +� D�pP0-�1 pow u (V�� -� ui ) Lp O =� yi +�1 -� yi i 2 ui /V�� 2 . [cal] [m] [m2/s2] [m3/s2] [m] [m/s] [pa] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ---------------- i =�9 �� i =�1 Stacja pomiarowa nr 2. x2=.......[mm]; piDyn =� 2 pidyn y� =� D�yi ui =� y� -�y� i i +�1 i r� (y� +� )D�yi yi D�z 0,025r�H gD�z +� D�pP0-�1 pow u (V�� -� ui ) Lp O =� yi +�1 -� yi i 2 2 ui /V�� . [cal] [m] [m2/s2] [m3/s2] [m] [m/s] [pa] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ---------------- i =�9 �� i =�1 Stacja pomiarowa nr 3. x3=.......[mm]; piDyn =� 2 pidyn y� =� D�yi ui =� y� -�y� i i +�1 i r� (y� +� )D�yi yi D�z 0,025r�H gD�z +� D�pP0-�1 pow u (V�� -� ui ) Lp O =� yi +�1 -� yi i 2 2 ui /V�� . [cal] [m] [m2/s2] [m3/s2] [m] [m/s] [pa] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ---------------- i =�9 �� i =�1 Dodatek do wiczenia A. Rozwa|my ukBad r�wnaD Prandtla opisujcy parametry przepBywu w warstwie przy[ciennej ��vx ��vx 1 ��p ��2vx vx +� vy =� -� +�n�lepkos A1 ��x ��y r� ��x ��y2 ��vx ��vy +� =� 0 A2 ��x ��y Z r�wnania Bernoulliego dla przepBywu niezakB�conego (poza warstw przy[cienn) mamy 1 2 p +� r�V�� =� const A3 2 r�|niczkujc to wyra|enie wzgldem wsp�Brzdnej x ��V�� 1 ��p V�� =� -� A4 ��x r� ��x Z zale|no[ci Newtona wiemy, |e napr|enia styczne s proporcjonalne do gradientu prdko[ci w kierunku prostopadBym do przepBywu �� dvx �� t� =� -�m��� �� A5 �� �� dy �� �� m� =� r�n�lepkosc r�|niczkujc to wyra|enie wzgldem x oraz pamitajc, |e otrzymujemy 1 ��t� ��2vx =�n�lepkosc A6 r� ��y ��y2 podstawiajc otrzymane wyra|enia do zale|no[ci A1 oraz caBkujc obie strony po zmiennej y otrzymujemy h �� ��vx ��vx ��V�� �� 1 A7 x ��v ��x +� vy ��y -�V�� ��x ��dy =� -� t�0 �� 0 r� �� �� CaBkujc r�wnanie cigBo[ci A2 mamy h ��vx �� ��dy vy =� -� �� �� A8 �� 0 ��x �� �� Rozwa|my teraz drugi skBadnik zale|no[ci A7. CaBkujc go przez cz[ci otrzymujemy h h ��vy ��vx h vy dy =� [�vxvy]� -� vx dy A9 �� �� 0 0 0 ��y ��y Wykorzystujc warunki brzegowe: vx =� vy =� 0 y =� 0 dla oraz h ��vx �� ��dy �� �� vx =� V�� vy =� -� 0 y =� h i dla �� ��x �� �� otrzymujemy h h h ��vy ��vx ��vx vy dy =� -�V�� 0 �� ��dy -� vx dy �� �� A10 �� �� �� 0 0 ��y ��x ��y �� �� a wykorzystujc r�wnanie cigBo[ci A2 mamy h h h ��vx ��vx ��vx vy dy =� -�V�� 0 �� ��dy +� vx dy �� �� A11 �� �� �� 0 0 ��y ��x ��x �� �� Podstawiajc to wyra|enie do A7 otrzymujemy h ��vx ��vx ��V�� 1 ��2v +�V�� -�V�� ��dy =� -� t� A12 x 0 �� �� �� 0 ��x ��x ��x r� �� �� mo|na zauwa|y, |e ��vx ��vx 2 2vx =� A13 ��x ��x oraz ��vxV�� ��V�� ��vx ��vx ��vxV�� ��V�� =� vx +�V�� std V�� =� -� vx A13 ��x ��x ��x ��x ��x ��x podstawiajc to do A12 i odpowiednio grupujc otrzymujemy h h �� dV�� 1 [�vx (V�� -� vx )]�dy +� (V�� -� vx )dy =� t� A14 0 �� �� 0 0 ��x dx r� Jest og�lna posta zale|no[ci Karmana dla przepBywu w warstwie przy[ciennej. Dla opBywu [ciany pBaskiej zakBadamy, |e prdko[ strumienia niezakB�conego nie V�� =� const zmienia si . Std dla takiego przypadku wz�r Karmana upraszcza si h d t� =� r�u(V�� -� u)dy A15 0 �� 0 dx u =� vx gdzie: y >� d� Poniewa| dla (dla obszaru poza warstw przy[cienna) warto[ caBki jest staBa mo|emy ostatecznie zmieni granic caBkowania d� d t� =� r�u(V�� -� u)dy A15 0 �� 0 dx Powy|sz zale|no[ wyprowadzi mo|na r�wnie| stosujc zasad zachowania strumienia pdu.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
pomiar charakterystycznych wielkości turbulentnej warstwy przyściennej na płaskiej płycie
Moduł ładowania warstwowego, przepływomierze, teoria Taconova
135pancerz warstwowy badania skuteczności na efp
Sporzadzanie rachunku przepływów pienieżnych wykład 1 i 2
[W] Badania Operacyjne Zagadnienia transportowe (2009 04 19)
07 Badanie „Polacy o ADHD”
4M Badanie prostownik w jednofazowych i uk éad w filtruj¦ůcych
badania dyskusja
badania operacyjne 9

więcej podobnych podstron