��PACSTWOWA WY{SZA SZKOAA ZAWODOWA W CHEAMIE
INSTYTUT NAUK TECHNICZNYCH
Laboratorium Mechaniki PByn�w
wiczenie 5
Badanie przepBywu w warstwie przy[ciennej.
OpracowaB: dr in|. Dariusz Mika
1. Wprowadzenie teoretyczne.
POJCIE WARSTWY PRZYZCIENNEJ
Wystpujce w technice przepBywy pByn�w lepkich s przepBywami, w kt�rych siBy
tarcia s maBe w por�wnaniu z siBami bezwBadno[ci. Woda i powietrze - pByny, z kt�rymi
najcz[ciej spotykamy si w r�|nych zagadnieniach technicznych - odznaczaj si maB
lepko[ci, a zatem ju| przy stosunkowo niewielkich prdko[ciach otrzymujemy podczas ich
przepByw�w du|e warto[ci liczby Reynoldsa. W r�wnaniach Naviera-Stokesa, w miar
zwikszania si liczby Reynoldsa, wyrazy zale|ne od lepko[ci staj si coraz mniejsze w
por�wnaniu z wyrazami bezwBadno[ciowymi, a dla liczb Reynoldsa Re �� �� , wyrazy te
d| do zera, a r�wnania ruchu nie r�|ni si ju| od r�wnaD dotyczcych pBynu doskonaBego.
W odr�|nieniu od pBynu doskonaBego (a wic nielepkiego), w kt�rym tylko skBadowa
normalna prdko[ci musi znika na nieprzepuszczalnej [cianie, w pBynie lepkim r�wnie|
skBadowe styczne prdko[ci znikaj na tego rodzaju [cianie. Warunki te nie zale| od
prdko[ci pBynu w punktach odlegBych od granicy. Oznacza to, |e podczas przepBywu pBynu
pseudodoskonaBego (tzn. z du| prdko[ci) siBy lepko[ci s dominujce w pobli|u [ciany
sztywnej (lub granicy r�|nych pByn�w), chocia| w gB�wnej masie pBynu dominuj siBy
bezwBadno[ci. Rozwizanie tego problemu polega na podzieleniu caBego obszaru
poruszajcego si pBynu na dwa nier�wne podobszary (rys. 1.) i prowadzeniu rozwa|aD
osobno dla ka|dego z nich. PodziaB ten - zaproponowany przez Prandtla - polega na
wprowadzeniu podobszaru, w kt�rym siBy lepko[ci s caBkowicie pomijalne, oraz drugiego, w
kt�rym ich wpByw jest decydujcy.
Rys. 1. Obraz warstwy przy[ciennej.
Warstw pBynu poruszajc si blisko granicy o[rodk�w (np. [ciany) nazywa si
warstw przy[cienn. Przez to pojcie rozumiemy zar�wno warstw przy[cienn tworzc si
na opBywanej nieprzenikliwej powierzchni, jak i warstw graniczn tworzc si w
przepBywie swobodnym otoczonym przepBywem potencjalnym (struga zatopiona, [lad za
opBywanym ciaBem).
W warstwie przy[ciennej wystpuj intensywne zmiany prdko[ci od zera na [cianie do
warto[ci r�wnej prdko[ci pBynu poza ni. Midzy warstw przy[cienn a gB�wn mas pBynu
nie ma wyraznego rozgraniczenia, tote| nie mo|na [ci[le zdefiniowa zasigu warstwy.
Zwykle przyjmuje si, |e warstwa przy[cienna siga do miejsca, w kt�rym prdko[ jest o 1%
mniejsza od prdko[ci przepBywu potencjalnego, tj. prdko[ci, jaka ustaliBaby si w tym
punkcie podczas przepBywu pBynu doskonaBego.
d�
Grubo[ci warstwy przy[ciennej nazywa si tak odlegBo[ od powierzchni ciaBa, dla
kt�rej zmiana prdko[ci przepBywu w kierunku prostopadBym do powierzchni [ciany jest w
przybli|eniu r�wna zeru. Grubo[ tej warstwy narasta stopniowo w miar oddalania si (w
kierunku przepBywu) od krawdzi natarcia (miejsca podziaBu strug opBywajcych ciaBo) - rys.
1.
Poza warstw przy[cienn le|y podobszar, w kt�rym siBy masowe (bezwBadno[ci)
dominuj nad siBami lepko[ci i w zwizku z tym pByn uwa|a si za doskonaBy. Podczas
rozwa|ania przepBywu wok�B [cian o ksztaBtach regularnych przyjmuje si, |e poza warstw
przy[cienn przepByw ksztaBtuje si tak jak w ruchu potencjalnym.
R�WNANIA PRZEPAYWU W LAMINARNEJ WARSTWIE PRZYZCIENNEJ
W celu wyznaczenia parametr�w przepBywu w pobli|u [cian nale|y uwzgldni lepko[
pBynu i rozwiza r�wnanie ruchu w postaci Naviera-Stokesa. Wobec maBej grubo[ci warstwy
przy[ciennej, w por�wnaniu z dBugo[ci opBywanej [ciany ( d� / l <�<�1
), r�wnania Naviera-
Stokesa sprowadza si w rozwa|anym przypadku do uproszczonej postaci, zwanej
r�wnaniami Prandtla.
ZakBada si pBaski ustalony przepByw pBynu nie[ci[liwego wok�B gBadkiej nieruchomej
V��
[ciany, opBywanej przez pByn z prdko[ci . Pomija si siBy ci|ko[ci, a przepByw poza
warstw traktuje jako potencjalny.
Rozwa|my opByw pBaskiej poziomej [ciany o skoDczonej dBugo[ci l - w kierunku osi x
(rys. 1), bdcym kierunkiem przepBywu swobodnego - i nieskoDczonej, w poprzecznym
kierunku z, tzn. -� �� <� z <� +��
>. Wtedy dla x <� 0 przepByw nie jest zaburzony obecno[ci
[ciany.
R�wnania Naviera-Stokesa oraz cigBo[ci przepBywu przybieraj posta
�� ��
��vx ��vx ��2vx ��2vx ��
1 ��p
��
vx +� vy =� -� +�n� +�
,
lepko
��
��x ��y r� ��x ��x2 ��y2 ��
�� ��
�� ��
��vy ��vy 1 ��p ��2vy ��2vy ��
��
vx +� vy =� -� +�n� +�
lepko , (1)
��
��x ��y r� ��y ��x2 ��y2 ��
�� ��
��vx ��vy
+� =� 0
.
��x ��y
gdy| prdko[ nie zmienia si w kierunku osi z.
ZcisBe rozwizanie tego ukBadu r�wnaD r�|niczkowych jest zagadnieniem b. trudnym.
Wprowadzajc jednak pewne zaBo|enia oraz oszacowujc rzd wielko[ci poszczeg�lnych
skBadnik�w r�wnaD i odrzucajc skBadniki ni|szego rzdu, ukBad r�wnaD przyjmuje posta
��vx ��vx ��2vx
1 ��p
vx +� vy =� -� +�n�
,
lepko
��x ��y r� ��x ��x2
1 ��p
0 =� -�
, (2)
r� ��y
��vx ��vy
+� =� 0
.
��x ��y
Drugie z r�wnaD ukBadu (2) umo|liwia sformuBowanie wniosku, |e ci[nienie w warstwie
przy[ciennej jest staBe wzdBu| normalnej do opBywanej powierzchni, ma wic t sam warto[
na powierzchni, co i na granicy warstwy. Wynika std dalszy wniosek, |e w podobszarze
warstwy przy[ciennej ci[nienie jest wyBcznie funkcj zmiennej x, identyczn z funkcj
okre[lajc ci[nienie na powierzchni opBywanej pBynem doskonaBym. Wnioski te,
sformuBowane na podstawie rozwa|aD teoretycznych, zostaBy potwierdzone licznymi
do[wiadczeniami.
Po uwzgldnieniu drugiego r�wnania ukBadu (2) otrzymamy ostatecznie wspomniane
wcze[niej r�wnania Prandtla
��vx ��vx 1 ��p ��2vx
vx +� vy =� -� +�n�lepko ,
(3)
��x ��y r� ��x ��y2
��vx ��vy
+� =� 0
.
��x ��y
R�wnania te, cho wyprowadzono je jako odnoszce si do pBaskiej pByty, s sBuszne i
w bardziej og�lnych przypadkach dwuwymiarowych przepByw�w, z tym jednak, |e promieD
krzywizny [ciany w ka|dym jej punkcie jest wielokrotnie wikszy od grubo[ci warstwy
przy[ciennej w tym punkcie.
Z drugiego r�wnania (2) wynika, |e ci[nienie nie zmienia si w poprzek warstwy
przy[ciennej, a zatem, mimo jej istnienia, ci[nienie statyczne mo|na mierzy bezpo[rednio na
opBywanej powierzchni.
Metoda rozwizywania zagadnieD przepByw�w pByn�w lepkich, z wykorzystaniem
koncepcji warstwy przy[ciennej i r�wnania Prandtla, polega na:
�� Wyznaczeniu przepBywu pBynu nielepkiego wok�B ciaBa, a szczeg�lnie rozkBadu
ci[nienia p(x) na [cianie.
�� Rozwizaniu r�wnaD Prandtla z uwzgldnieniem wyznaczonego rozkBadu ci[-
nienia i odpowiednich warunk�w brzegowych.
Taka droga postpowania jest wprawdzie dokBadna, ale do[ uci|liwa. Nie bdzie
zatem przedstawione rozwizanie ukBadu r�wnaD Prandtla, a jedynie zostan naszkicowane
tylko gB�wne wyniki tego rozwizania.
Rozwizanie ukBadu r�wnaD (3) umo|liwia znalezienie rozkBadu prdko[ci w warstwie
przy[ciennej, a std napr|enia stycznego. W przypadku opBywu [ciany pBaskiej (lub o
niewielkiej krzywiznie) mo|na pokaza, |e napr|enia styczne w warstwie przy[ciennej
przyjmuj posta (spos�b wyprowadzenia tej zale|no[ci znajduje si w dodatku A do
wiczenia). Jest to tzw. zale|no[ caBkowa Karmana
d�
d
t� =� r�u(V�� -� u)dy
(4)
0
��
dx
0
gdzie u=vx - prdko[ pByny wzdBu| pByty.
Definiujc wielko[ �, nazywan liniow miar zmniejszenia strumienia pdu jako
d�
�� ��
u u
Q� =�
��V �� -� V�� ��
��1 ��dy
�� �� ��
0
(5)
zale|no[ caBkow Karmana mo|emy przedstawi w uproszczonej formie
d
2
t� =� (V�� Q�)
0
dx
(6)
Grubo[ laminarnej warstwy przy[ciennej, obliczona dla bie|cej (lokalnej) liczby
Reynoldsa
V�� x
Rex =�
n�
(7)
wynosi
5x
d� (x) =�
Rex
(8)
2. Cele wiczenia
Celem wiczenia jest badanie warstwy przy[ciennej przy opBywie pBaskiej pBytki,
wyznaczenie rozkBadu prdko[ci w tej warstwie oraz wyznaczenie napr|eD stycznych na
powierzchni pBytki.
3. Zadania
a) Wyznaczy profile prdko[ci u(y) w funkcji wysoko[ci y w warstwie
przy[ciennej wzdBu| powierzchni pBaskiej pBytki , grubo[ warstwy przy[ciennej
na ka|dej stacji pomiaru oraz lokaln liczb Reynoldsa,
y /d� u /V��
b) Wyznaczy profile prdko[ci w bezwymiarowej formie versus
c) Wyznaczy napr|enia styczne na powierzchni pBytki korzystajc z caBkowego
wzoru Karmana
4 Przebieg wiczenia.
wiczenie przeprowadzane jest z wykorzystaniem tunelu aerodynamicznego
edukacyjnego Aerolab typu otwartego. W komorze testowej tunelu nale|y umie[ci pBask
pBytk wyposa|on w specjalny pr�bnik (10-kanaBowy manometr) tzw. "mouse". Otwarte
koDc�wki pr�bnika "mouse" umieszczone s kolejno na 0.018, 0.025, 0.030, 0.040, 0.060,
0.100, 0.120, 0.160, 0.200 cala od powierzchni pByty. Drugie koDc�wki pr�bnika nale|y
podpina do multi-manometru tunelu. Drugie gaBzki manometru s otwarte do atmosfery w
zwizku z tym manometr mierzy r�|nic ci[nienia caBkowitego na przekroju pomiarowym i
ci[nienia atmosferycznego. Nale|y pamita o odpowiedniej konwencji znakowej
odczytywania wysoko[ci sBupk�w cieczy w manometrach. Wysoko[ci powy|ej przyjtego
poziomu zerowego bierzemy ze znakiem (-) (podci[nienie w stosunku do ci[nienia
atmosferycznego) natomiast wysoko[ci poni|ej poziomu zerowego ze znakiem (+)
(nadci[nienie). Aby obliczy ci[nienie dynamiczne w [ladzie aerodynamicznym otrzymane
wyniki pomiaru ci[nienia nale|y odnie[ do ci[nienia statycznego sekcji testowej (ci[nienie
dynamiczne jest r�|nic midzy ci[nieniem caBkowitym a ci[nieniem statycznym). Do
otrzymanych wynik�w nale|y doda wic r�|nic midzy ci[nieniem otoczenia a ci[nieniem
statycznym sekcji testowej D�pP0-�1 =� p0 -� pst . R�|nic tych ci[nieD odczytujemy korzystajc
z sondy Prandtla umieszczonej w sekcji testowej tunelu. Otrzymane wyniki bd w�wczas
stanowiBy ci[nienie dynamiczne pd3=�p+�pP0-1=(p-p0)+(p0-pst)=p-pst.. Za pomoc sondy
Prandtla wyznaczamy dodatkowo ci[nienie dynamiczne przepBywu niezakB�conego
pd�� =� 0,025r�H OgD�zP1-�2 .
2
Nale|y ustawi prdko[ na warto[ 15-20 m/s i przeprowadzi pomiary dla 3 pozycji
zdefiniowanej na prowadnicy pr�bnika "mouse". Wyniki pomiaru wraz z odlegBo[ci
otwor�w pomiarowych sondy od krawdzi pByty nale|y zapisa w tabelce wiczeniowej.
5. Opracowanie wynik�w pomiaru.
Wyniki pomiar�w nale|y przedstawi w formie wykresu prdko[ci przepBywu u(y)
versus odlegBo[ od powierzchni pByty y dla ka|dej stacji pomiarowej (zadanie a)).
PrzykBadowy wykres tego rodzaju dla jednej stacji pomiarowej przedstawia rys. 2.
Otrzymane profile prdko[ci odpowiadajce poszczeg�lnym stacjom nale|y przedstawi w
formie wykresy z rys. 1.
y
vx
Rys. 2. PrzykBad rozkBadu prdko[ci w warstwie przy[ciennej.
Dla ka|dej stacji pomiarowej nale|y wyznaczy grubo[ warstwy przy[ciennej oraz
lokaln liczb Reynoldsa. - wzory (7) i (6).
W zadaniu b) nale|y wyznaczy
profile prdko[ci w bezwymiarowej formie
y /d� u /V��
versus (zadanie b)). PrzykBad
tego typu wykresu zostaB przedstawiony
na rys. 3.
Rys. 3. PrzykBad profilu prdko[ci w
warstwie przy[ciennej przedstawiony w
y /d�
formie bezwymiarowej versus
u /V��
.
Zadaniu c) polega na wyznaczeniu napr|eD stycznych na powierzchni pBytki z
przybli|onego caBkowego wzoru Karmana. Warto[ pochodnej wyznaczamy w spos�b
przybli|ony korzystajc z ilorazu r�|nicowego dla dw�ch kolejnych stacji pomiarowych.
W�n -� W�n-�1
t� =�
(9)
0
D�x
d�
gdzie: W�n =� r�u(V�� -� u)dy - caBka wystpujca we wzorze Karmana wyznaczona dla
��
0
n-tej stacji pomiarowej,
D�x - odlegBo[ pomidzy dwiema kolejnymi stacjami pomiarowymi .
Warto[ caBki wystpujcej we wzorze Karmana mo|emy wyznaczy stosujc np.
metod trapez�w.
d�
n -�1
y� -�y�i
i +�1
r�u(V�� -� u)dy �� r� +� )D�yi (10)
��(y� i
��
2
i =�1
0
gdzie: y�i =� u (V�� -� ui) - iloczyn wystpujcy pod caBk we wzorze Karmana;
D�yi =� (yi +�1 -� yi ) - r�|nica odlegBo[ci midzy dwoma kolejnymi pr�bnikami
sondy "mouse".
Obliczenia napr|eD stycznych nale|y wykona dla dw�ch pocztkowych i dw�ch
koDcowych stacji pomiarowych
Literatura
1. Kabsch K, H. Szewczyk: Mechanika PByn�w, Oficyna Wydawnicza Politechniki WrocBawskiej,
WrocBaw 2001.
2. Bukowski J, Kijkowski P.: Kurs mechaniki pByn�w, PWN, Warszawa 1980.
PaDstwowa Wy|sza SzkoBa Zawodowa w CheBmie
Laboratorium Mechaniki PByn�w
Laboratorium mechaniki pByn�w, wiczenie nr 5
Temat wiczenia: Badanie przepBywu w warstwie przy[ciennej."
Imi i nazwisko Grupa Semestr/rok akademicki
Prowadzcy Data wykonania wiczenia/godz. Ocena
Zadanie do wykonania:
1. Wyznaczy profile prdko[ci u(y) w funkcji wysoko[ci y w warstwie przy[ciennej
wzdBu| powierzchni pBaskiej pBytki , grubo[ warstwy przy[ciennej na ka|dej stacji
pomiaru oraz lokaln liczb Reynoldsa,
y /d� u /V��
2. Wyznaczy profile prdko[ci w bezwymiarowej formie versus
3. Wyznaczy napr|enia styczne na powierzchni pBytki korzystajc z caBkowego
wzoru Karmana
V��
tot=.......[�C]; pot=...........[Pa]; q=......[Pa]; =......[m/s];
r� =� ..... r�H O =�1000
[kg/m3]; [kg/m3];
pow
2
D�pP0-�1 =� p0 -� p�� =� 0,025r�gD�zP0-�1 =� ..........;
D�zP0-�1 - wysoko[ sBupa cieczy manometru odpowiadajca r�|nicy ci[nienia
atmosferycznego i ci[nienia statycznego sekcji testowej [cal].
Tabela wiczeniowa do zadanie a) i b)
Stacja pomiarowa nr 1. x1=.......[mm];
piDyn =�
2 pidyn
y� =� D�yi
ui =� y� -�y�
i
i +�1 i
r� (y� +� )D�yi
yi D�z 0,025r�H gD�z +� D�pP0-�1 pow
u (V�� -� ui )
Lp O =� yi +�1 -� yi i 2
ui /V��
2
.
[cal]
[m] [m2/s2] [m3/s2]
[m]
[m/s]
[pa]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 ----------------
i =�9
��
i =�1
Stacja pomiarowa nr 2. x2=.......[mm];
piDyn =�
2 pidyn
y� =� D�yi
ui =� y� -�y�
i
i +�1 i
r� (y� +� )D�yi
yi D�z 0,025r�H gD�z +� D�pP0-�1 pow
u (V�� -� ui )
Lp O =� yi +�1 -� yi i 2
2 ui /V��
.
[cal]
[m] [m2/s2] [m3/s2]
[m]
[m/s]
[pa]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 ----------------
i =�9
��
i =�1
Stacja pomiarowa nr 3. x3=.......[mm];
piDyn =�
2 pidyn
y� =� D�yi
ui =� y� -�y�
i
i +�1 i
r� (y� +� )D�yi
yi D�z 0,025r�H gD�z +� D�pP0-�1 pow
u (V�� -� ui )
Lp O =� yi +�1 -� yi i 2
2 ui /V��
.
[cal]
[m] [m2/s2] [m3/s2]
[m]
[m/s]
[pa]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 ----------------
i =�9
��
i =�1
Dodatek do wiczenia A.
Rozwa|my ukBad r�wnaD Prandtla opisujcy parametry przepBywu w warstwie
przy[ciennej
��vx ��vx 1 ��p ��2vx
vx +� vy =� -� +�n�lepkos
A1
��x ��y r� ��x ��y2
��vx ��vy
+� =� 0
A2
��x ��y
Z r�wnania Bernoulliego dla przepBywu niezakB�conego (poza warstw przy[cienn)
mamy
1
2
p +� r�V�� =� const
A3
2
r�|niczkujc to wyra|enie wzgldem wsp�Brzdnej x
��V�� 1 ��p
V�� =� -�
A4
��x r� ��x
Z zale|no[ci Newtona wiemy, |e napr|enia styczne s proporcjonalne do gradientu
prdko[ci w kierunku prostopadBym do przepBywu
�� dvx ��
t� =� -�m��� ��
A5
�� ��
dy
�� ��
m� =� r�n�lepkosc
r�|niczkujc to wyra|enie wzgldem x oraz pamitajc, |e otrzymujemy
1 ��t� ��2vx
=�n�lepkosc
A6
r� ��y ��y2
podstawiajc otrzymane wyra|enia do zale|no[ci A1 oraz caBkujc obie strony po
zmiennej y otrzymujemy
h
�� ��vx ��vx ��V�� �� 1
A7
x
��v ��x +� vy ��y -�V�� ��x ��dy =� -� t�0
��
0
r�
�� ��
CaBkujc r�wnanie cigBo[ci A2 mamy
h
��vx
�� ��dy
vy =� -�
�� ��
A8
��
0
��x
�� ��
Rozwa|my teraz drugi skBadnik zale|no[ci A7. CaBkujc go przez cz[ci otrzymujemy
h h ��vy
��vx
h
vy dy =� [�vxvy]� -� vx dy
A9
�� ��
0
0 0
��y ��y
Wykorzystujc warunki brzegowe:
vx =� vy =� 0 y =� 0
dla
oraz
h
��vx
�� ��dy
�� ��
vx =� V�� vy =� -� 0 y =� h
i dla
��
��x
�� ��
otrzymujemy
h h h ��vy
��vx ��vx
vy dy =� -�V�� 0 �� ��dy -� vx dy
�� ��
A10
�� �� ��
0 0
��y ��x ��y
�� ��
a wykorzystujc r�wnanie cigBo[ci A2 mamy
h h h
��vx ��vx ��vx
vy dy =� -�V�� 0 �� ��dy +� vx dy
�� ��
A11
�� �� ��
0 0
��y ��x ��x
�� ��
Podstawiajc to wyra|enie do A7 otrzymujemy
h
��vx ��vx ��V�� 1
��2v +�V�� -�V�� ��dy =� -� t�
A12
x 0
�� �� ��
0
��x ��x ��x r�
�� ��
mo|na zauwa|y, |e
��vx ��vx 2
2vx =� A13
��x ��x
oraz
��vxV�� ��V�� ��vx ��vx ��vxV�� ��V��
=� vx +�V�� std V�� =� -� vx A13
��x ��x ��x ��x ��x ��x
podstawiajc to do A12 i odpowiednio grupujc otrzymujemy
h h
�� dV�� 1
[�vx (V�� -� vx )]�dy +� (V�� -� vx )dy =� t� A14
0
�� ��
0 0
��x dx r�
Jest og�lna posta zale|no[ci Karmana dla przepBywu w warstwie przy[ciennej.
Dla opBywu [ciany pBaskiej zakBadamy, |e prdko[ strumienia niezakB�conego nie
V�� =� const
zmienia si . Std dla takiego przypadku wz�r Karmana upraszcza si
h
d
t� =� r�u(V�� -� u)dy A15
0
��
0
dx
u =� vx
gdzie:
y >� d�
Poniewa| dla (dla obszaru poza warstw przy[cienna) warto[ caBki jest staBa
mo|emy ostatecznie zmieni granic caBkowania
d�
d
t� =� r�u(V�� -� u)dy A15
0
��
0
dx
Powy|sz zale|no[ wyprowadzi mo|na r�wnie| stosujc zasad zachowania
strumienia pdu.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
pomiar charakterystycznych wielkości turbulentnej warstwy przyściennej na płaskiej płycieModuł ładowania warstwowego, przepływomierze, teoria Taconova135pancerz warstwowy badania skuteczności na efpSporzadzanie rachunku przepływów pienieżnych wykład 1 i 2[W] Badania Operacyjne Zagadnienia transportowe (2009 04 19)07 Badanie „Polacy o ADHD”4M Badanie prostownik w jednofazowych i uk éad w filtruj¦ůcychbadania dyskusjabadania operacyjne 9więcej podobnych podstron