��PAC
STWOWA WY{
SZA SZKOA
A ZAWODOWA W CHEA
MIE INSTYTUT NAUK TECHNICZNYCH Laboratorium Mechaniki PB
yn�w 
wiczenie 5 Badanie przepB
ywu w warstwie przy[
ciennej. OpracowaB
: dr in|
. Dariusz Mika 1. Wprowadzenie teoretyczne. POJ
CIE WARSTWY PRZYZ
CIENNEJ Wyst
puj
ce w technice przepB
ywy pB
yn�w lepkich s
przepB
ywami, w kt�rych siB
y tarcia s
maB
e w por�wnaniu z siB
ami bezwB
adno[
ci. Woda i powietrze - pB
yny, z kt�rymi najcz
[
ciej spotykamy si
w r�|
nych zagadnieniach technicznych - odznaczaj
si
maB

lepko[
ci
, a zatem ju|
przy stosunkowo niewielkich pr
dko[
ciach otrzymujemy podczas ich przepB
yw�w du|
e warto[
ci liczby Reynoldsa. W r�wnaniach Naviera-Stokesa, w miar
zwi
kszania si
liczby Reynoldsa, wyrazy zale|
ne od lepko[
ci staj
si
coraz mniejsze w por�wnaniu z wyrazami bezwB
adno[
ciowymi, a dla liczb Reynoldsa Re �� �� , wyrazy te d
|

do zera, a r�wnania ruchu nie r�|
ni
si
ju|
od r�wnaD
dotycz
cych pB
ynu doskonaB
ego. W odr�|
nieniu od pB
ynu doskonaB
ego (a wi
c nielepkiego), w kt�rym tylko skB
adowa normalna pr
dko[
ci musi znika
na nieprzepuszczalnej [
cianie, w pB
ynie lepkim r�wnie|
skB
adowe styczne pr
dko[
ci znikaj
na tego rodzaju [
cianie. Warunki te nie zale|

od pr
dko[
ci pB
ynu w punktach odlegB
ych od granicy. Oznacza to, |
e podczas przepB
ywu pB
ynu pseudodoskonaB
ego (tzn. z du|

pr
dko[
ci
) siB
y lepko[
ci s
dominuj
ce w pobli|
u [
ciany sztywnej (lub granicy r�|
nych pB
yn�w), chocia|
w gB
�wnej masie pB
ynu dominuj
siB
y bezwB
adno[
ci. Rozwi
zanie tego problemu polega na podzieleniu caB
ego obszaru poruszaj
cego si
pB
ynu na dwa nier�wne podobszary (rys. 1.) i prowadzeniu rozwa|
aD
osobno dla ka|
dego z nich. PodziaB
ten - zaproponowany przez Prandtla - polega na wprowadzeniu podobszaru, w kt�rym siB
y lepko[
ci s
caB
kowicie pomijalne, oraz drugiego, w kt�rym ich wpB
yw jest decyduj
cy. Rys. 1. Obraz warstwy przy[
ciennej. Warstw
pB
ynu poruszaj
c
si
blisko granicy o[
rodk�w (np. [
ciany) nazywa si
warstw
przy[
cienn
. Przez to poj
cie rozumiemy zar�wno warstw
przy[
cienn
tworz
c
si
na opB
ywanej nieprzenikliwej powierzchni, jak i warstw
graniczn
tworz
c
si
w przepB
ywie swobodnym otoczonym przepB
ywem potencjalnym (struga zatopiona, [
lad za opB
ywanym ciaB
em). W warstwie przy[
ciennej wyst
puj
intensywne zmiany pr
dko[
ci od zera na [
cianie do warto[
ci r�wnej pr
dko[
ci pB
ynu poza ni
. Mi
dzy warstw
przy[
cienn
a gB
�wn
mas
pB
ynu nie ma wyraz
nego rozgraniczenia, tote|
nie mo|
na [
ci[
le zdefiniowa
zasi
gu warstwy. Zwykle przyjmuje si
, |
e warstwa przy[
cienna si
ga do miejsca, w kt�rym pr
dko[

jest o 1% mniejsza od pr
dko[
ci przepB
ywu potencjalnego, tj. pr
dko[
ci, jaka ustaliB
aby si
w tym punkcie podczas przepB
ywu pB
ynu doskonaB
ego. d� Grubo[
ci
warstwy przy[
ciennej nazywa si
tak
odlegB
o[

od powierzchni ciaB
a, dla kt�rej zmiana pr
dko[
ci przepB
ywu w kierunku prostopadB
ym do powierzchni [
ciany jest w przybli|
eniu r�wna zeru. Grubo[

tej warstwy narasta stopniowo w miar
oddalania si
(w kierunku przepB
ywu) od kraw
dzi natarcia (miejsca podziaB
u strug opB
ywaj
cych ciaB
o) - rys. 1. Poza warstw
przy[
cienn
le|
y podobszar, w kt�rym siB
y masowe (bezwB
adno[
ci) dominuj
nad siB
ami lepko[
ci i w zwi
zku z tym pB
yn uwa|
a si
za doskonaB
y. Podczas rozwa|
ania przepB
ywu wok�B
[
cian o ksztaB
tach regularnych przyjmuje si
, |
e poza warstw
przy[
cienn
przepB
yw ksztaB
tuje si
tak jak w ruchu potencjalnym. R�WNANIA PRZEPA
YWU W LAMINARNEJ WARSTWIE PRZYZ
CIENNEJ W celu wyznaczenia parametr�w przepB
ywu w pobli|
u [
cian nale|
y uwzgl
dni
lepko[

pB
ynu i rozwi
za
r�wnanie ruchu w postaci Naviera-Stokesa. Wobec maB
ej grubo[
ci warstwy przy[
ciennej, w por�wnaniu z dB
ugo[
ci
opB
ywanej [
ciany ( d� / l <�<�1 ), r�wnania Naviera- Stokesa sprowadza si
w rozwa|
anym przypadku do uproszczonej postaci, zwanej r�wnaniami Prandtla. ZakB
ada si
pB
aski ustalony przepB
yw pB
ynu nie[
ci[
liwego wok�B
gB
adkiej nieruchomej V�� [
ciany, opB
ywanej przez pB
yn z pr
dko[
ci
. Pomija si
siB
y ci
|
ko[
ci, a przepB
yw poza warstw
traktuje jako potencjalny. Rozwa|
my opB
yw pB
askiej poziomej [
ciany o skoD
czonej dB
ugo[
ci l - w kierunku osi x (rys. 1), b
d
cym kierunkiem przepB
ywu swobodnego - i nieskoD
czonej, w poprzecznym kierunku z, tzn. -� �� <� z <� +�� >. Wtedy dla x <� 0 przepB
yw nie jest zaburzony obecno[
ci
[
ciany. R�wnania Naviera-Stokesa oraz ci
gB
o[
ci przepB
ywu przybieraj
posta
�� �� ��vx ��vx ��2vx ��2vx �� 1 ��p �� vx +� vy =� -� +�n� +� , lepko
�� ��x ��y r� ��x ��x2 ��y2 �� �� �� �� �� ��vy ��vy 1 ��p ��2vy ��2vy �� �� vx +� vy =� -� +�n� +� lepko
, (1) �� ��x ��y r� ��y ��x2 ��y2 �� �� �� ��vx ��vy +� =� 0 . ��x ��y gdy|
pr
dko[

nie zmienia si
w kierunku osi z. Z
cisB
e rozwi
zanie tego ukB
adu r�wnaD
r�|
niczkowych jest zagadnieniem b. trudnym. Wprowadzaj
c jednak pewne zaB
o|
enia oraz oszacowuj
c rz
d wielko[
ci poszczeg�lnych skB
adnik�w r�wnaD
i odrzucaj
c skB
adniki ni|
szego rz
du, ukB
ad r�wnaD
przyjmuje posta
��vx ��vx ��2vx 1 ��p vx +� vy =� -� +�n� , lepko
��x ��y r� ��x ��x2 1 ��p 0 =� -� , (2) r� ��y ��vx ��vy +� =� 0 . ��x ��y Drugie z r�wnaD
ukB
adu (2) umo|
liwia sformuB
owanie wniosku, |
e ci[
nienie w warstwie przy[
ciennej jest staB
e wzdB
u|
normalnej do opB
ywanej powierzchni, ma wi
c t
sam
warto[

na powierzchni, co i na granicy warstwy. Wynika st
d dalszy wniosek, |
e w podobszarze warstwy przy[
ciennej ci[
nienie jest wyB

cznie funkcj
zmiennej x, identyczn
z funkcj
okre[
laj
c
ci[
nienie na powierzchni opB
ywanej pB
ynem doskonaB
ym. Wnioski te, sformuB
owane na podstawie rozwa|
aD
teoretycznych, zostaB
y potwierdzone licznymi do[
wiadczeniami. Po uwzgl
dnieniu drugiego r�wnania ukB
adu (2) otrzymamy ostatecznie wspomniane wcze[
niej r�wnania Prandtla ��vx ��vx 1 ��p ��2vx vx +� vy =� -� +�n�lepko
, (3) ��x ��y r� ��x ��y2 ��vx ��vy +� =� 0 . ��x ��y R�wnania te, cho
wyprowadzono je jako odnosz
ce si
do pB
askiej pB
yty, s
sB
uszne i w bardziej og�lnych przypadkach dwuwymiarowych przepB
yw�w, z tym jednak, |
e promieD
krzywizny [
ciany w ka|
dym jej punkcie jest wielokrotnie wi
kszy od grubo[
ci warstwy przy[
ciennej w tym punkcie. Z drugiego r�wnania (2) wynika, |
e ci[
nienie nie zmienia si
w poprzek warstwy przy[
ciennej, a zatem, mimo jej istnienia, ci[
nienie statyczne mo|
na mierzy
bezpo[
rednio na opB
ywanej powierzchni. Metoda rozwi
zywania zagadnieD
przepB
yw�w pB
yn�w lepkich, z wykorzystaniem koncepcji warstwy przy[
ciennej i r�wnania Prandtla, polega na: �� Wyznaczeniu przepB
ywu pB
ynu nielepkiego wok�B
ciaB
a, a szczeg�lnie rozkB
adu ci[
nienia p(x) na [
cianie. �� Rozwi
zaniu r�wnaD
Prandtla z uwzgl
dnieniem wyznaczonego rozkB
adu ci[
- nienia i odpowiednich warunk�w brzegowych. Taka droga post
powania jest wprawdzie dokB
adna, ale do[

uci
|
liwa. Nie b
dzie zatem przedstawione rozwi
zanie ukB
adu r�wnaD
Prandtla, a jedynie zostan
naszkicowane tylko gB
�wne wyniki tego rozwi
zania. Rozwi
zanie ukB
adu r�wnaD
(3) umo|
liwia znalezienie rozkB
adu pr
dko[
ci w warstwie przy[
ciennej, a st
d napr
|
enia stycznego. W przypadku opB
ywu [
ciany pB
askiej (lub o niewielkiej krzywiz
nie) mo|
na pokaza
, |
e napr
|
enia styczne w warstwie przy[
ciennej przyjmuj
posta
(spos�b wyprowadzenia tej zale|
no[
ci znajduje si
w dodatku A do 
wiczenia). Jest to tzw. zale|
no[

caB
kowa Karmana d� d t� =� r�u(V�� -� u)dy (4) 0 �� dx 0 gdzie u=vx - pr
dko[

pB
yny wzdB
u|
pB
yty. Definiuj
c wielko[

�, nazywan
liniow
miar
zmniejszenia strumienia p
du jako d� �� �� u u Q� =� ��V �� -� V�� �� ��1 ��dy �� �� �� 0 (5) zale|
no[

caB
kow
Karmana mo|
emy przedstawi
w uproszczonej formie d 2 t� =� (V�� Q�) 0 dx (6) Grubo[

laminarnej warstwy przy[
ciennej, obliczona dla bie|

cej (lokalnej) liczby Reynoldsa V�� x Rex =� n� (7) wynosi 5x d� (x) =� Rex (8) 2. Cele 
wiczenia Celem 
wiczenia jest badanie warstwy przy[
ciennej przy opB
ywie pB
askiej pB
ytki, wyznaczenie rozkB
adu pr
dko[
ci w tej warstwie oraz wyznaczenie napr
|
eD
stycznych na powierzchni pB
ytki. 3. Zadania a) Wyznaczy
profile pr
dko[
ci u(y) w funkcji wysoko[
ci y w warstwie przy[
ciennej wzdB
u|
powierzchni pB
askiej pB
ytki , grubo[

warstwy przy[
ciennej na ka|
dej stacji pomiaru oraz lokaln
liczb
Reynoldsa, y /d� u /V�� b) Wyznaczy
profile pr
dko[
ci w bezwymiarowej formie versus c) Wyznaczy
napr
|
enia styczne na powierzchni pB
ytki korzystaj
c z caB
kowego wzoru Karmana 4 Przebieg 
wiczenia. 
wiczenie przeprowadzane jest z wykorzystaniem tunelu aerodynamicznego edukacyjnego Aerolab typu otwartego. W komorze testowej tunelu nale|
y umie[
ci
pB
ask
pB
ytk
wyposa|
on
w specjalny pr�bnik (10-kanaB
owy manometr) tzw. "mouse". Otwarte koD
c�wki pr�bnika "mouse" umieszczone s
kolejno na 0.018, 0.025, 0.030, 0.040, 0.060, 0.100, 0.120, 0.160, 0.200 cala od powierzchni pB
yty. Drugie koD
c�wki pr�bnika nale|
y podpina
do multi-manometru tunelu. Drugie gaB

zki manometru s
otwarte do atmosfery w zwi
zku z tym manometr mierzy r�|
nic
ci[
nienia caB
kowitego na przekroju pomiarowym i ci[
nienia atmosferycznego. Nale|
y pami
ta
o odpowiedniej konwencji znakowej odczytywania wysoko[
ci sB
upk�w cieczy w manometrach. Wysoko[
ci powy|
ej przyj
tego poziomu zerowego bierzemy ze znakiem (-) (podci[
nienie w stosunku do ci[
nienia atmosferycznego) natomiast wysoko[
ci poni|
ej poziomu zerowego ze znakiem (+) (nadci[
nienie). Aby obliczy
ci[
nienie dynamiczne w [
ladzie aerodynamicznym otrzymane wyniki pomiaru ci[
nienia nale|
y odnie[

do ci[
nienia statycznego sekcji testowej (ci[
nienie dynamiczne jest r�|
nic
mi
dzy ci[
nieniem caB
kowitym a ci[
nieniem statycznym). Do otrzymanych wynik�w nale|
y doda
wi
c r�|
nic
mi
dzy ci[
nieniem otoczenia a ci[
nieniem statycznym sekcji testowej D�pP0-�1 =� p0 -� pst . R�|
nic
tych ci[
nieD
odczytujemy korzystaj
c z sondy Prandtla umieszczonej w sekcji testowej tunelu. Otrzymane wyniki b
d
w�wczas stanowiB
y ci[
nienie dynamiczne pd3=�p+�pP0-1=(p-p0)+(p0-pst)=p-pst.. Za pomoc
sondy Prandtla wyznaczamy dodatkowo ci[
nienie dynamiczne przepB
ywu niezakB
�conego pd�� =� 0,025r�H OgD�zP1-�2 . 2 Nale|
y ustawi
pr
dko[

na warto[

15-20 m/s i przeprowadzi
pomiary dla 3 pozycji zdefiniowanej na prowadnicy pr�bnika "mouse". Wyniki pomiaru wraz z odlegB
o[
ci
otwor�w pomiarowych sondy od kraw
dzi pB
yty nale|
y zapisa
w tabelce 
wiczeniowej. 5. Opracowanie wynik�w pomiaru. Wyniki pomiar�w nale|
y przedstawi
w formie wykresu pr
dko[
ci przepB
ywu u(y) versus odlegB
o[

od powierzchni pB
yty y dla ka|
dej stacji pomiarowej (zadanie a)). PrzykB
adowy wykres tego rodzaju dla jednej stacji pomiarowej przedstawia rys. 2. Otrzymane profile pr
dko[
ci odpowiadaj
ce poszczeg�lnym stacjom nale|
y przedstawi
w formie wykresy z rys. 1. y vx Rys. 2. PrzykB
ad rozkB
adu pr
dko[
ci w warstwie przy[
ciennej. Dla ka|
dej stacji pomiarowej nale|
y wyznaczy
grubo[

warstwy przy[
ciennej oraz lokaln
liczb
Reynoldsa. - wzory (7) i (6). W zadaniu b) nale|
y wyznaczy
profile pr
dko[
ci w bezwymiarowej formie y /d� u /V�� versus (zadanie b)). PrzykB
ad tego typu wykresu zostaB
przedstawiony na rys. 3. Rys. 3. PrzykB
ad profilu pr
dko[
ci w warstwie przy[
ciennej przedstawiony w y /d� formie bezwymiarowej versus u /V�� . Zadaniu c) polega na wyznaczeniu napr
|
eD
stycznych na powierzchni pB
ytki z przybli|
onego caB
kowego wzoru Karmana. Warto[

pochodnej wyznaczamy w spos�b przybli|
ony korzystaj
c z ilorazu r�|
nicowego dla dw�ch kolejnych stacji pomiarowych. W�n -� W�n-�1 t� =� (9) 0 D�x d� gdzie: W�n =� r�u(V�� -� u)dy - caB
ka wyst
puj
ca we wzorze Karmana wyznaczona dla �� 0 n-tej stacji pomiarowej, D�x - odlegB
o[

pomi
dzy dwiema kolejnymi stacjami pomiarowymi . Warto[

caB
ki wyst
puj
cej we wzorze Karmana mo|
emy wyznaczy
stosuj
c np. metod
trapez�w. d� n -�1 y� -�y�i i +�1 r�u(V�� -� u)dy �� r� +� )D�yi (10) ��(y� i �� 2 i =�1 0 gdzie: y�i =� u (V�� -� ui) - iloczyn wyst
puj
cy pod caB
k
we wzorze Karmana; D�yi =� (yi +�1 -� yi ) - r�|
nica odlegB
o[
ci mi
dzy dwoma kolejnymi pr�bnikami sondy "mouse". Obliczenia napr
|
eD
stycznych nale|
y wykona
dla dw�ch pocz
tkowych i dw�ch koD
cowych stacji pomiarowych Literatura 1. Kabsch K, H. Szewczyk: Mechanika PB
yn�w, Oficyna Wydawnicza Politechniki WrocB
awskiej, WrocB
aw 2001. 2. Bukowski J, Kijkowski P.: Kurs mechaniki pB
yn�w, PWN, Warszawa 1980. PaD
stwowa Wy|
sza SzkoB
a Zawodowa w CheB
mie Laboratorium Mechaniki PB
yn�w Laboratorium mechaniki pB
yn�w, 
wiczenie nr 5 Temat 
wiczenia:  Badanie przepB
ywu w warstwie przy[
ciennej." Imi
i nazwisko Grupa Semestr/rok akademicki Prowadz
cy Data wykonania 
wiczenia/godz. Ocena Zadanie do wykonania: 1. Wyznaczy
profile pr
dko[
ci u(y) w funkcji wysoko[
ci y w warstwie przy[
ciennej wzdB
u|
powierzchni pB
askiej pB
ytki , grubo[

warstwy przy[
ciennej na ka|
dej stacji pomiaru oraz lokaln
liczb
Reynoldsa, y /d� u /V�� 2. Wyznaczy
profile pr
dko[
ci w bezwymiarowej formie versus 3. Wyznaczy
napr
|
enia styczne na powierzchni pB
ytki korzystaj
c z caB
kowego wzoru Karmana V�� tot=.......[�C]; pot=...........[Pa]; q=......[Pa]; =......[m/s]; r� =� ..... r�H O =�1000 [kg/m3]; [kg/m3]; pow 2 D�pP0-�1 =� p0 -� p�� =� 0,025r�gD�zP0-�1 =� ..........; D�zP0-�1 - wysoko[

sB
upa cieczy manometru odpowiadaj
ca r�|
nicy ci[
nienia atmosferycznego i ci[
nienia statycznego sekcji testowej [cal]. Tabela 
wiczeniowa do zadanie a) i b) Stacja pomiarowa nr 1. x1=.......[mm]; piDyn =� 2 pidyn y� =� D�yi ui =� y� -�y� i i +�1 i r� (y� +� )D�yi yi D�z 0,025r�H gD�z +� D�pP0-�1 pow u (V�� -� ui ) Lp O =� yi +�1 -� yi i 2 ui /V�� 2 . [cal] [m] [m2/s2] [m3/s2] [m] [m/s] [pa] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ---------------- i =�9 �� i =�1 Stacja pomiarowa nr 2. x2=.......[mm]; piDyn =� 2 pidyn y� =� D�yi ui =� y� -�y� i i +�1 i r� (y� +� )D�yi yi D�z 0,025r�H gD�z +� D�pP0-�1 pow u (V�� -� ui ) Lp O =� yi +�1 -� yi i 2 2 ui /V�� . [cal] [m] [m2/s2] [m3/s2] [m] [m/s] [pa] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ---------------- i =�9 �� i =�1 Stacja pomiarowa nr 3. x3=.......[mm]; piDyn =� 2 pidyn y� =� D�yi ui =� y� -�y� i i +�1 i r� (y� +� )D�yi yi D�z 0,025r�H gD�z +� D�pP0-�1 pow u (V�� -� ui ) Lp O =� yi +�1 -� yi i 2 2 ui /V�� . [cal] [m] [m2/s2] [m3/s2] [m] [m/s] [pa] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ---------------- i =�9 �� i =�1 Dodatek do 
wiczenia A. Rozwa|
my ukB
ad r�wnaD
Prandtla opisuj
cy parametry przepB
ywu w warstwie przy[
ciennej ��vx ��vx 1 ��p ��2vx vx +� vy =� -� +�n�lepkos
A1 ��x ��y r� ��x ��y2 ��vx ��vy +� =� 0 A2 ��x ��y Z r�wnania Bernoulliego dla przepB
ywu niezakB
�conego (poza warstw
przy[
cienn
) mamy 1 2 p +� r�V�� =� const A3 2 r�|
niczkuj
c to wyra|
enie wzgl
dem wsp�B
rz
dnej x ��V�� 1 ��p V�� =� -� A4 ��x r� ��x Z zale|
no[
ci Newtona wiemy, |
e napr
|
enia styczne s
proporcjonalne do gradientu pr
dko[
ci w kierunku prostopadB
ym do przepB
ywu �� dvx �� t� =� -�m��� �� A5 �� �� dy �� �� m� =� r�n�lepkosc r�|
niczkuj
c to wyra|
enie wzgl
dem x oraz pami
taj
c, |
e otrzymujemy 1 ��t� ��2vx =�n�lepkosc A6 r� ��y ��y2 podstawiaj
c otrzymane wyra|
enia do zale|
no[
ci A1 oraz caB
kuj
c obie strony po zmiennej y otrzymujemy h �� ��vx ��vx ��V�� �� 1 A7 x ��v ��x +� vy ��y -�V�� ��x ��dy =� -� t�0 �� 0 r� �� �� CaB
kuj
c r�wnanie ci
gB
o[
ci A2 mamy h ��vx �� ��dy vy =� -� �� �� A8 �� 0 ��x �� �� Rozwa|
my teraz drugi skB
adnik zale|
no[
ci A7. CaB
kuj
c go przez cz
[
ci otrzymujemy h h ��vy ��vx h vy dy =� [�vxvy]� -� vx dy A9 �� �� 0 0 0 ��y ��y Wykorzystuj
c warunki brzegowe: vx =� vy =� 0 y =� 0 dla oraz h ��vx �� ��dy �� �� vx =� V�� vy =� -� 0 y =� h i dla �� ��x �� �� otrzymujemy h h h ��vy ��vx ��vx vy dy =� -�V�� 0 �� ��dy -� vx dy �� �� A10 �� �� �� 0 0 ��y ��x ��y �� �� a wykorzystuj
c r�wnanie ci
gB
o[
ci A2 mamy h h h ��vx ��vx ��vx vy dy =� -�V�� 0 �� ��dy +� vx dy �� �� A11 �� �� �� 0 0 ��y ��x ��x �� �� Podstawiaj
c to wyra|
enie do A7 otrzymujemy h ��vx ��vx ��V�� 1 ��2v +�V�� -�V�� ��dy =� -� t� A12 x 0 �� �� �� 0 ��x ��x ��x r� �� �� mo|
na zauwa|
y
, |
e ��vx ��vx 2 2vx =� A13 ��x ��x oraz ��vxV�� ��V�� ��vx ��vx ��vxV�� ��V�� =� vx +�V�� st
d V�� =� -� vx A13 ��x ��x ��x ��x ��x ��x podstawiaj
c to do A12 i odpowiednio grupuj
c otrzymujemy h h �� dV�� 1 [�vx (V�� -� vx )]�dy +� (V�� -� vx )dy =� t� A14 0 �� �� 0 0 ��x dx r� Jest og�lna posta
zale|
no[
ci Karmana dla przepB
ywu w warstwie przy[
ciennej. Dla opB
ywu [
ciany pB
askiej zakB
adamy, |
e pr
dko[

strumienia niezakB
�conego nie V�� =� const zmienia si
. St
d dla takiego przypadku wz�r Karmana upraszcza si
h d t� =� r�u(V�� -� u)dy A15 0 �� 0 dx u =� vx gdzie: y >� d� Poniewa|
dla (dla obszaru poza warstw
przy[
cienna) warto[

caB
ki jest staB
a mo|
emy ostatecznie zmieni
granic
caB
kowania d� d t� =� r�u(V�� -� u)dy A15 0 �� 0 dx Powy|
sz
zale|
no[

wyprowadzi
mo|
na r�wnie|
stosuj
c zasad
zachowania strumienia p
du.