60597

Problem zależności zdarzeń

Rekwizyty: Talia kart, Jocker

Problem:

2 talii zawierające) 52 karty losujemy jedną kartę.

Ile możliwych zdarzeń? 52 ? Nie, znacznie więcej Ile ?

Interesują nas jednak tylko dwa zdarzenia:

Zdarzenie A - polegające na wyciągnięciu pika Zdarzenie B - polegające na wyciągnięciu asa

Zdarzenia A i B są zależne czy niezależne?

Naukowo

Zdarzenie A i B nazyv*rry niezależnymi jeżeli prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem B równe jest prawdopodobieństwu bezwarunkowemu zdarzenia A.

«*■/

A. B niezależne <—► P(A|B) = P(A)    (1) _v

Z faktu, ze P(A|B) - P(A) wynika, ze P(B|A) • P(B). Fówyzszą definicję można zatem zapoać inaczej:

<*/

A, B niezależne <—► P(A B)= P(A) P(B)    (2)

czyli: zdarzenia losowe są niezależne, jeżeli prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń równe jest iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń

Weźmy odpowiednie prawdopodobieństwa

*^b>-T~5

_1_

4

1

13

Sprawdzamy niezależność na podstawie definicji (1):

P(A | B), czyli prawdopodobieństwo warunkowe tego, Ze jeZeli wylosowana karta jest asem to jest również pikiem obliczymy z deSnicjr

^{P(A 1 B) =} ^bT ⁼    = *4 ⁼ ? ^{= P(A) tt4d v}"^{oiek (,)}

7/    52

Można tez sprawdzić (chociaż nie tneba), że

P(B | A), czy* prawdopodobieństwo, że jeżeli wylosowana karta jest pśuem, to jest ona również asem:

P(B | A) = -yj- = — = P(B) skąd równie z wynika w nosek (•)

52

Może wygodniej byłoby sprawdzić niezależność według (2):

czyli ten sam wniosek (*)

P(AB)=± oraz P(A) P(B)=H ^ = -1

(*) Wniosek : Zdarzenia A i B są niezależne.

Loaczme

Jeżeli wylosowano jedną kartę to możemy powiedzieć, ze w jednym na cztery przypadki będzie to pik (13/52 = 1/4),

Jeżeli dowiemy się, że wylosowano asa, to nadal ne zmieńmy swojej odpowiedzi i powiemy, że w jednym na cztery przypadki to p.k(l/4)

Nie zmieniamy prawdopodobieństwa (1/4 ■ 1/4) - zdarzenia niezależne.

Czy odpowiedź ulegnie zmianie po dodaniu do talii jockera? ( Sprawdzić naukowo)

-    Teraz po wylosowaniu karty możemy powiedzieć, że w 13 przypadkach na 53 ta karta to pik (13/53)

-    Jeżeli teraz dowiemy się, że wylosowaną kartą jest as to zmieńmy naszą odpowiedź, stwserdzając, ze w takiej sytuacji w jednym na cztery przypadki (a nie w 13 na 53) wylosowaną kartą jest pik (13/52 = 1/4 )

Zmeniiśmy prawdopodobieństwo ¹ (13/53 <> 13/52 )- zdarzenia zalezne.

Do czego zmierzam’

Zależność zdarzeń nie polega na tym, jak czasam się sądzi, że wystąpienie jednego zdarzenia pociąga za sobą wystąpienie innego! Zależność zdarzeń oznacza, że wystąpienie jednego zdarzenia zmienia prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego.