60629

> Korzystajqc z różniczki zupełnej wzoru na długość, czyli z pierwszych wyrazów szeregu Taylora, przyrost długości d, wyraża się następujqcym wzorem: d(d,) = (cos a, )dxk + (sin nr,)dy* - (cos a,)dx_p - (sin cii)dy_p - różniczka zupełna a, - azymut rozpatrywanego boku o długości d,

Po uwzględnieniu różniczki zupełnej nasza funkcja g przyjmuje postać liniowq di = d? + d(d,-X gdzie

d? i a, sq liczone na podstawie przybliżonych wartości współrzędnych dx%,dy%dx°dy°, zaś dx_k/ dy_h dXp, dy_D stanowiq szukane parametry Q„ czyli przyrosty współrzędnych.

Metoda najmniejszych kwadratów polega na takim dobraniu ocen parametrów 0„ aby odchyłki 6| dla zmiennej losowej X, spełniały następujący warunek:

F = E"=i(6i)² = minimum , gdzie 6, =x_l-g_i(0₁,0₂,... 6_k), (ó, =v = d,-d,°)

Tzn., że suma kwadratów poprawek ma być minimalna.

Minimum funkcji F zachodzi dla takich wartości dla których wszystkie pochodne cząstkowe będą

Powstaje układ równań liniowych względem parametrów 0, który pozwala te parametry wyznaczyć (oszacować).

Ciekawostki

S Metoda najmniejszych kwadratów została wprowadzona przez Legendre'a w 1805.

S Gauss wsparł ją założeniem o rozkładzie błędów normalnym (zwanym też rozkładem Gaussa-Laplace’a). Od Gaussa pochodzi nazwa: „metoda najmniejszych kwadratów błędów" -obecnie stosujemy nazwę uproszczoną: „metoda najmniejszych kwadratów".

S Początkowo była stosowana do obliczeń geodezyjnych, określających wielkość najbardziej prawdopodobną z wielu nie całkiem zgodnych pomiarów. Stała się podstawą teorii błędów pomiarów, używanej początkowo w astronomii i geodezji, obecnie we wszystkich pomiarach fizycznych. Legła też u podstaw statystyki.

S MNK opiera się na postulacie Legendre'a. W postaci najprostszej postulat ten brzmi tak: wartościq najbardziej prawdopodobnq, otrzymanq z szeregu wyników tak samo dokładnych pomiarów, jest taka, od której obliczone odchylenia tych wyników, po podniesieniu do drugiej potęgi i zsumowaniu dajq wielkość najmniejszq z możliwych. Czyli przyjęcie do obliczenia odchyleń wielkości dowolnej innej, niż najbardziej prawdopodobna, da sumę ich drugich potęg (kwadratów) większq.

S Z postulatu Legendre‘a wynika, że najbardziej prawdopodobną wielkością z szeregu jednakowo dokładnych pomiarów jednej wielkości jest ich średnia arytmetyczna. W przypadku pomiarów niejednakowo dokładnych postulat ten brzmi podobnie, stosuje się jednak do odchyleń równoważonych „wagami", tj. wartość ma tym większą wagę im bardziej dokładny jest pomiar. W tym przypadku najbardziej prawdopodobną wielkością okazuje się średnia ważona. Gdy w zadaniu jest wiele niewiadomych, a nie są dostępne bezpośredniemu pomiarowi, muszą być obliczane jako funkcje wielu innych mierzonych wielkości. Wówczas do obliczeń stosuje się jeszcze bardziej rozwinięty aparat tej metody. Wsparta założeniem o rozkładzie błędów normalnym i nazywana w Polsce rachunkiem wyrównawczym, daje ona