img072

72

-zyatajęc z definicji różniczki zupełnej onez ze wzoru (6.4), otrzymujemy

72

^d9^(a) ■ E lfr⁽*^)<ixj * E E ^(f:

j-1    ²    j-1 i-1

(a)

fp(a))

P

- £] -5"    .....fp(a))dfi(a) - dFCfj.....f_p)(a)

i-1    ¹

co Kończy dowód.

2 twierdzenie 6.3 wynika między innymi, że wzory

d(f ♦ g) - df + dg.

d(fg) - fdg ♦ gdf,

d(l) * A* (fdg - gdf)

^B 9

słuszne niezależnie od tego czy f i g eę zmiennymi niezależnymi, czy- też s$ funkcjami innych zmiennych niezależnych.

Funkcje uwikłane

ił K((g,u₀),r)c

df

T^i^rdzen_ie_6^. Zakładamy, że funkcjo rzeczywista f zależna od n+l zmiennych rzeczywistych x^,...,x ,u jest określona i cięgła w ku-R^n>1, gdzie x - (S₁,.,.,8_n) oraz f(x,u ) - O. Po

nadto zakładamy, że pochodna cząstkowa jest cięgła w tej kuli 1 różna od zera w punkcie (S,u_o), Przy tych założeniach istnieje kula K(x,t)CRⁿ oraz funkcja u:K(8,t)—*-R cięgła w K(S,t), najęca wartość u_ę w punkcie 8 (u(8) ■ u_ft) oraz teka, że dla wszystkich xfiK(8,t) spełniona Jest równość

•*n»

t (x.,..._#x.,u(x,,

Dowodzi s:ę również, że funkcja u spełniająca powyższe warunki jeat

jedyna.