71127

Obliczanie splotu liniowego poprzez DFT

W praktyce splotu liniowego używa się min. do implementacji filtrowcy-frowych FIR. Dla filtrowo długiej odpowiedzi impulsowej h(n) obliczanie każdej próbki wyjściowej y(n) bezpośrednio w oparciu o definicję splotu staje się czasochłonne. Alternatywą jest obliczenie splotu liniowego sygnałów poprzez wymnożenie odpowiadających im widm, wyznaczenie sygnału czasowego odpowiadającego otrzymanemu w ten sposob widmu. Pojawia się jednak problem: mnożeniu widm dyskretnych odpowiada w dziedzinie czasu splot kołowy, a nie splot liniowy (równanie (2.18)). Określić należy jaki związek zachodzi między splotem kołowym i liniowym tych samych sygnałów dyskretnych xi(n), X2(n). Korzystając z wzoru (2.8) przedstawiającego powielenie z okresem N sygnału czasowego x(n) oraz z równania splotu liniowego (2.16) można przedstawić splot kołowy ey(n) przy pomocy splotu liniowego y(n).

Gdy N < i+M-1 dla splotu kołowego zachodzi zjawisko aliasingu w dziedzinie czasu. Obrazowo można przedstawić to następująco: próbki splotu kołowego nie mieszczące się w obserwowanym okresie o długości W „wychodzą" z niego do następnego okresu po prawej stronie. Te same próbki pojawiają się jednocześnie po lewej stronie obserwowanego okresu splotu kołowego,

„wchodzą" one z okresu znajdującego się po lewej stronie od obserwowanego.

Zgodnie ze wzorem (2.28) próbki te dodają się do próbek pierwotnie się tam znajdujących. Wartość pierwszych L + M -1 - N próbek splotu kołowego rożni się wówczas od odpowiadających im próbek splotu liniowego. Wynika stąd praktyczny wniosek. Gdy długość splotu kołowego jest równa lub większa od długości splotu liniowego czyli N - i+M-1 wyniki splotu liniowego i kołowego są jednakowe.