82156

str 2

W8/9

Wielomiany tworzące 1 _k(x) (k = 0, 1.....n) tworzą bazę przestrzeni W_n (przestrzeni wielomianów

stopnia nie wyższego niż n)

Wtedy

n    /-b

S(f) = l(t.„) = £ Vf(*ł) •    \ ^m I p(x) l_k(xj dx .

k =0    *

Węzły tych kwadratur są więc węzłami interpolacji. Kwadratury interpolacyjne oparte na n+1 węzłach są rzędu co najmniej n+1.

Kwadratury z węzłami równoodległymi

Kwadratury interpolacyjne z węzłami równoodległymi nazywamy kwadraturami Newtona-Cotesa. Wśród nich największe znaczenie praktyczne mają wzory, w których końce przedziału są węzłami oraz funkcja wagowa p(x) = 1. Dalsze rozważania w tym punkcie ograniczymy do takich wzorów.

Jeżeli funkcję f zastąpimy wielomianem interpolacyjnym L. opartym na węzłach a i b, to otrzymamy kwadraturę trapezów

StO - ^    + f(b))

Geometrycznie, dla f £ 0, prcybliżamy pole między wykresem f i osią Ox polem trapezu o podstawach f(a) i il(b).

Interpretacja geometryczna

Jeżeli funkcję f zastąpimy wielomianem L₂ opartym na węzłach a, (a+b)/2 i b. to otrzymamy kwadraturę parabol, zwaną kwadraturą Simpsona

s<o - ^    ^4    + w) ■

Wykresem wielomianu L2 jest parabola, o ile jest on funkcją kwadratową.

Interpretacja geomettyczna

Rząd tych kwadratur wynosi: dla wzoru trapezów - 2, dla wzoru parabol - 4.

Tak uzyskane kwadratury nazywamy kwadraturami prostymi. Kwadratur Newtona-Cotesa opartych na dużej liczbie węzłów używa się rzadko. W praktyce . w celu osiągnięcia dokładności, stosuje się kwadratury< złożone, które są sumą kwadratur prostych na mniejszych odcinkach, na które dzielimy przedział [a,bj.

Złożony wzór trapezów przy podziale przedziału [a,b] na n podprzedziałów o tej samej długości h-(b-a)/n jest postaci

h

2

SCO

(    o-t    'i

f(a) + f(b) + 2-^ f(a + ih)

w    ‘ = 1    >

natomiast złożony wzór parabol, przy takim samym podziale, jest postaci

8(0-7

6

f(a) + f(b) + 2- £ f(a + ih) + 4-

i = 1