82286
oraz własności | sin | < | | i | cos | < 1 otrzymujemy oszacowanie
I sinx - sinx0| < |x - x0|
Wtedy dla dowolnej liczby e > 0 wystarczy wziąć 6 = e, aby otrzymać implikację |x — xol < & => | sinx — sin xq| < e
która udawadnia ciągłość funkcji w punkcie Xo. Z dowolności tego punktu wynika ciągłość funkcji na całej osi liczbowej.
9
Twierdzenie 3.4 ( O ciągłości sumy, iloczynu i ilorazu fnneji)
Jeżeli f : A >-» Tl. g : A >-* 71 są funkcjami ciągłymi na A. to również funkcje:
f + 9• W (Ag*), f g
|/|. oraz — (przy dodatkowym założeniu, że(Vx € A. g(x) / 0))
9
są ciągle na A.
Dowód: Ciągłość funkcji \f\ wynika z ciągłości funkcji f oraz nieróumości:
ll/(x)|-|/(xo)||<|/(x)-/(x0)|
Dowód pozostałych punktów tezy wynika z Twierdzenia 3.3.
Przykład 3.18 Pokazać , że f(x) = xsinx jest funkcją ciągłą na Tl.
Przykład 3.19 Zbadać ciągłość funkcji f(x) = { ^ ^ ^ ^ .
( 1 dla x = 0
Twierdzenie 3.5 ( O ciągłości funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja f: A*-> 13 jest ciągła w puncie xo G A , a funkcja g : D C jest ciągła w punkcie yo = f(xo) G D , to funkcja złożona h = g o f. jest ciągła w puncie xo • Dowód:
Weźmy dowolny ci^{xn} C A . różny od ciągu stałego i zbieżny do xq . Z ciągłości funkcji f wynika, że lim f(xn) = /(x0).
n—*oo
Ciągłość funkcji g daje lim g (f(xn)) = g(f(xo)). Udowodniliśmy więc. że
71—>OC
(V{xn} C A, xn # x0) lim x„ = x0 => lim g(f{xn)) = p(/(x0))
n—»oo n—oc
co oznacza ciągłość funkcji go f w punkcie xo-
Przykład 3.20 Funkcja h(x) = exp(sinx) jest ciągła na R.
Definicja 3.23 ( Punktów nieciągłości)
Punkt xo nazywa się punktem nieciągłości I rodzaju funkcji f. jeśli istnieją granice, właściwe lim /(x), lim f(x) , ale przynajmniej jedna z nich jest różna od f(xo). x—*o *-**o
Punkt nieciągłości / rodzaju nazywa się punktem nieciągłości usuwalnej, jeżeli granice właściwe jednostronne są równe, ale różne od f(xo).
Punktami nieciągłości II rodzaju nazywają się pozostałe punkty nieciągłości. W punktach tych nie istnieje przynajmniej jedna z granic lim /(x), lim f(x) lub przynajmniej
X—X—Xq
jedna jest niewłaściwa.
17
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Image1827 x = 2arctgf, dx = 2 dt 2 sin sinx =- • 2 x sin — 2 x cos — 2 cos cosx = 2 2 X cos — 2
Slajd46 2 Długość dnia oraz momenty wschodów i zachodów z=90° o h=0° cos a = cos b cos c + sin b sin
0929DRUK00001765 ABEKACJA 353 Odejmując tu i dodając po lewej stronie sin q cos qx otrzymujemysm q
Zdjecie1096 lub inaczej (Oxsy ~ (a + r sin a)1 + j/i + r • (l ■ cos#)]* Po porównaniu i przekształce
F- F cos a; Fy = F sin a otrzymamy F COS a = k (m g - F sin a ) skąd otrzymamy współczynnik tarciaF
Slajd46 2 Długość dnia oraz momenty wschodów i zachodów z=90° o h=0° cos a = cos b cos c + sin b sin
e) /(x) = e*sinx, i) /(*) = sin x cos x. /) f(x) = y/x
jF(sinx,cosx)dx
Zapisujemy liczby 1 — i oraz /3 + i w postaci trygonometrycznej/2, a = -n 4 COS -7T + l ■ sin 4
DSC01011 (12) 1 0 kącie a wiadomo, źe tg(a) = — 1/5 oraz tt/2 < a < n .
F- F cos a; Fy = F sin a otrzymamy F COS a = k (m g - F sin a ) skąd otrzymamy współczynnik tarciaF
Image2819 0 = Ci sin O + C 2 cos O + O3 - 2 1 = Ci cos O -C2sir
Image296 sin cos & /---Łgtv
Image299 a = g(sin &+ f cos ł?)
img169 (18) 12. Trygonometria • Definicje funkcji trygonometrycznych y sin a = — r x cos a = — r tg«
SNC00078 DZIAŁ IIGospodarowanie nieruchomościami stanowiącymi własność Skarbu Państwa oraz włas
więcej podobnych podstron