88865

element

regularny

▲

element

rzeczywisty

X

Przekształcenie elementów regularnych w ich rzeczywiste odpowiedniki dokonać można na podstawie odpowiednio skonstruowanego przekształcenia funkcyjnego:

x(ę,n) = fx(ę>n)

y(ą,n) = f_y(^n)

jednak w ogólnym przypadku jak na powyższym rysunku jest to niewykonalne (a przynajmniej nieefektywne), dlatego w praktyce zmuszeni jesteśmy do stosowania odpowiednich aproksymacji. W literaturze znaleźć można różne podejścia do tego zagadnienia i klasyfikację elementów na tzw. elementy sub-, izo-, i super-parametryczne. W typowych systemach MES stosuje się jednak prawie wyłącznie elementy izoparametryczne. Istotą tych elementów jest to, że do opisu geometrii elementu stosuje te same funkcje, co do opisu pola przemieszczeń, czyli:

x(ą,n) = Z^N.0U)-x_l

gdzie x i y oznaczają rzeczywiste, kartezjańskie współrzędne danego punktu kontinuum, £ i r\ to ich odpowiedniki w lokalnym układzie elementu, a N, to funkcje kształtu używane do aproksymacji pola przemieszczeń. W praktyce więc, geometria elementu jest przybliżana wielomianami aproksymacyjnymi identycznymi z aproksymacją pola przemieszczeń w elemencie, czyli na podstawie funkcji kształtu. Oczywiście implikuje to jedynie przybliżone odwzorowanie rzeczywistego kształtu elementu (rys2), ale mimo to natrafiamy na poważne problemy przy próbie analitycznego wyprowadzenia macierzy sztywności lub wektora obciążeń elementowych. Zbadajmy omawiany problem dla omawianego na poprzednim wykładzie elementu PSN4.

Macierz sztywności tego elementu, jest obliczana wg wzoru:

11

k = jB^T D Bdxdy = jjB^T D B|J|dędn.

A -1-1