Niekiedy obszar D można przedstawić w każdej z powyższych postaci - wybieramy wtedy takie przedstawienie, w którym trzeba dzielić na mniejszą ilość części lub obliczenie całki wewnętrznej jest prostsze.
Jeżeli funkcja / jest nicujcmna i ciągła na obszarze D. to całka jest równa objętości \V\ obszaru V. gdzie V jest obszarem znajdującym się w górnej pół przestrzeni (tzn. nad płaszczyzną Oxy), pod powierzchnią 2 = f(x.y),(x,y) 6 D.
I. Całki podwójne.
1 v/5x 2 y/2
1. Narysować obszar, którego pole przedstawia całka J dx j dy + J dx J dy, i obliczy
pole.
1 s/Tx
w
o x/A
2. Zmienić kolejność całkowalna w wyrażeniu J dx J f(x. y)dy + J dx J f(x.y)dy.
0 0 10
3. (Dem.3935). Obliczyć całkę JJ (x2 + y2) dxdy, gdzie D jest równoległobokiem, ograniczonym
c to
1 x/4
3 3—x
D
prostymi o równaniach y = x,y = x +a, y = a,y = 3a. Odp.: 14n4.
4. (Trudne) Dobrać (na dwa sposoby) granice całkowania dla obszaru, ograniczonego z lewej strony prawą połówką okręgu x2 + (y — aj2 — a2, a od góry i od dołu - odpowiednimi lukami okręgów x2 + y2 = 4a2 oraz x2 + (y — 2a)2 = 4a2 (pomiędzy osią Oy a punktem przecięcia tych okręgów w pierwszej ćwiartce).
Odpowiedź jest sumą dwóch albo trzech składników, zależnie od kolejności:
a s/lay-U* 2a y/4a* -y2
J dy j /(x, y)dy + j dy J f(x, y)dy:
^ \/'2ay —y2 ° \/'lay— ya
a a-y/a1-*2 a y/ la2 -x3 \/3a y/Aa?-x2
^ 2a — yj4ai—xI ^ a+VoJ—xl ° 2a—y/Aai—xi
5. Zamienić poniższe całki podwójne na całki iterowane (na dwa sposoby), a następnie policzyć je (jednym z dwóch sposobów):
a) Jjer+vdxdy D = {(x, y) : 0 < x < 1,0 < y < 1} (kwadrat jetlnostkowy).Odp.: e2 — 2e + l); D
b) JJxydxdy D jest trójkątem o wierzchołkach 0(0,0), ,4(a,0). 13(0.b). Odp.: a2l?/2A.
D
c) JJ xydxdy D - ołx>zar ograniczony parabolą y = x2 — 3 i prostą y — 1; Odp.: 0.
D
Odp.: 9/4. 2x,xy = 2.
d) JJ xdxdy D - obszar ograniczony parabolą y = X2 i prostą y — x = 2.
D
f t ^
6. Obliczyć // — dxdy po obszarze D. ograniczonym krzywymi x = 2, y
Odp.: 29/15.
7. Obliczyć objętość części walca obrotowego o promieniu a. którego osią jest oś Oy. leżącej nad
trójkątem O AB. gdzie 0(0,0.0), /l(a,0.0), B(a,a, 0). Odp.: a3/3.
8. Obliczyć objętość słupa, ograniczonego od góry powierzclmią 2 = x2 + y2 + 1. którego pod
stawą jest leżący w płaszczyźnie z = 0 kwadrat o wierzchołkach .4(1,1,0), Z?(l, —1.0), C(—1, —1.0), D(—1,1,0). (Zad. podobne do zad. Dcm.3935 powyżej). Odp.: 20/3.
9. Obliczyć objętość słupa, ograniczonego od góry płaszczyzną i = x 4- 2y + 5, którego podstawą jest obszar płaski D. leżący w płaszczyźnie z — 0, ograniczony parabolą x — y2 — 4 i prostą x = 5.
2