89699

Niekiedy obszar D można przedstawić w każdej z powyższych postaci - wybieramy wtedy takie przedstawienie, w którym trzeba dzielić na mniejszą ilość części lub obliczenie całki wewnętrznej jest prostsze.

Jeżeli funkcja / jest nicujcmna i ciągła na obszarze D. to całka jest równa objętości \V\ obszaru V. gdzie V jest obszarem znajdującym się w górnej pół przestrzeni (tzn. nad płaszczyzną Oxy), pod powierzchnią 2 = f(x.y),(x,y) 6 D.

I. Całki podwójne.

1 v/5x 2    y/2

1. Narysować obszar, którego pole przedstawia całka J dx j dy + J dx J dy, i obliczy

pole.

1 s/Tx

w

o x/A

2.    Zmienić kolejność całkowalna w wyrażeniu J dx J f(x. y)dy + J dx J f(x.y)dy.

0 0 10

3. (Dem.3935). Obliczyć całkę JJ (x² + y²) dxdy, gdzie D jest równoległobokiem, ograniczonym

c to

1    x/4

3    3—x

D

prostymi o równaniach y = x,y = x +a, y = a,y = 3a.    Odp.: 14n⁴.

4. (Trudne) Dobrać (na dwa sposoby) granice całkowania dla obszaru, ograniczonego z lewej strony prawą połówką okręgu x² + (y — aj² — a², a od góry i od dołu - odpowiednimi lukami okręgów x² + y² = 4a² oraz x² + (y — 2a)² = 4a² (pomiędzy osią Oy a punktem przecięcia tych okręgów w pierwszej ćwiartce).

Odpowiedź jest sumą dwóch albo trzech składników, zależnie od kolejności:

a s/lay-U*    2a    y/4a* -y²

J dy j /(x, y)dy + j dy    J f(x, y)dy:

^    \/'2ay —y²    °    \/'lay— y^a

a a-y/a¹-*²    a y/ la² -x³    \/3a    y/Aa?-x²

J dx J    f{x, y)dy + J dx j f{x, y)dy + J dx j f(x, y)dy

^    2a — yj4aⁱ—x^I    ^ a+Vo^J—x^l    ° 2a—y/Aaⁱ—xⁱ

5. Zamienić poniższe całki podwójne na całki iterowane (na dwa sposoby), a następnie policzyć je (jednym z dwóch sposobów):

a) Jje^r+vdxdy D = {(x, y) : 0 < x < 1,0 < y < 1} (kwadrat jetlnostkowy).Odp.: e² — 2e + l); D

b) JJxydxdy    D jest trójkątem o wierzchołkach 0(0,0), ,4(a,0). 13(0.b). Odp.: a²l?/2A.

D

c)    JJ xydxdy D - ołx>zar ograniczony parabolą y = x² — 3 i prostą y — 1;    Odp.: 0.

D

Odp.: 9/4. 2x,xy = 2.

d) JJ xdxdy D - obszar ograniczony parabolą y = X² i prostą y — x = 2.

D

f t ^

6. Obliczyć // — dxdy po obszarze D. ograniczonym krzywymi x = 2, y

Odp.: 29/15.

7.    Obliczyć objętość części walca obrotowego o promieniu a. którego osią jest oś Oy. leżącej nad

trójkątem O AB. gdzie 0(0,0.0), /l(a,0.0), B(a,a, 0).    Odp.: a³/3.

8.    Obliczyć objętość słupa, ograniczonego od góry powierzclmią 2 = x² + y² + 1. którego pod

stawą jest leżący w płaszczyźnie z = 0 kwadrat o wierzchołkach .4(1,1,0), Z?(l, —1.0), C(—1, —1.0), D(—1,1,0). (Zad. podobne do zad. Dcm.3935 powyżej).    Odp.: 20/3.

9.    Obliczyć objętość słupa, ograniczonego od góry płaszczyzną i = x 4- 2y + 5, którego podstawą jest obszar płaski D. leżący w płaszczyźnie z — 0, ograniczony parabolą x — y² — 4 i prostą x = 5.

2