89699

89699



Niekiedy obszar D można przedstawić w każdej z powyższych postaci - wybieramy wtedy takie przedstawienie, w którym trzeba dzielić na mniejszą ilość części lub obliczenie całki wewnętrznej jest prostsze.

Jeżeli funkcja / jest nicujcmna i ciągła na obszarze D. to całka jest równa objętości \V\ obszaru V. gdzie V jest obszarem znajdującym się w górnej pół przestrzeni (tzn. nad płaszczyzną Oxy), pod powierzchnią 2 = f(x.y),(x,y) 6 D.

I. Całki podwójne.

1 v/5x 2    y/2

1. Narysować obszar, którego pole przedstawia całka J dx j dy + J dx J dy, i obliczy


pole.


1 s/Tx

w

o x/A

2.    Zmienić kolejność całkowalna w wyrażeniu J dx J f(x. y)dy + J dx J f(x.y)dy.

0 0 10

3. (Dem.3935). Obliczyć całkę JJ (x2 + y2) dxdy, gdzie D jest równoległobokiem, ograniczonym


c to


1    x/4

3    3—x


D

prostymi o równaniach y = x,y = x +a, y = a,y = 3a.    Odp.: 14n4.

4. (Trudne) Dobrać (na dwa sposoby) granice całkowania dla obszaru, ograniczonego z lewej strony prawą połówką okręgu x2 + (yaj2 a2, a od góry i od dołu - odpowiednimi lukami okręgów x2 + y2 = 4a2 oraz x2 + (y — 2a)2 = 4a2 (pomiędzy osią Oy a punktem przecięcia tych okręgów w pierwszej ćwiartce).

Odpowiedź jest sumą dwóch albo trzech składników, zależnie od kolejności:


a s/lay-U*    2a    y/4a* -y2

J dy j /(x, y)dy + j dy    J f(x, y)dy:

^    \/'2ay —y2    °    \/'lay— ya

a a-y/a1-*2    a y/ la2 -x3    \/3a    y/Aa?-x2

J dx J    f{x, y)dy + J dx j f{x, y)dy + J dx j f(x, y)dy

^    2a — yj4ai—xI    ^ a+VoJ—xl    ° 2a—y/Aai—xi

5. Zamienić poniższe całki podwójne na całki iterowane (na dwa sposoby), a następnie policzyć je (jednym z dwóch sposobów):

a) Jjer+vdxdy D = {(x, y) : 0 < x < 1,0 < y < 1} (kwadrat jetlnostkowy).Odp.: e2 — 2e + l); D

b) JJxydxdy    D jest trójkątem o wierzchołkach 0(0,0), ,4(a,0). 13(0.b). Odp.: a2l?/2A.

D

c)    JJ xydxdy D - ołx>zar ograniczony parabolą y = x2 3 i prostą y — 1;    Odp.: 0.

D

Odp.: 9/4. 2x,xy = 2.


d) JJ xdxdy D - obszar ograniczony parabolą y = X2 i prostą y — x = 2.

D

f t ^

6. Obliczyć // — dxdy po obszarze D. ograniczonym krzywymi x = 2, y

Odp.: 29/15.

7.    Obliczyć objętość części walca obrotowego o promieniu a. którego osią jest oś Oy. leżącej nad

trójkątem O AB. gdzie 0(0,0.0), /l(a,0.0), B(a,a, 0).    Odp.: a3/3.

8.    Obliczyć objętość słupa, ograniczonego od góry powierzclmią 2 = x2 + y2 + 1. którego pod

stawą jest leżący w płaszczyźnie z = 0 kwadrat o wierzchołkach .4(1,1,0), Z?(l, —1.0), C(—1, —1.0), D(—1,1,0). (Zad. podobne do zad. Dcm.3935 powyżej).    Odp.: 20/3.

9.    Obliczyć objętość słupa, ograniczonego od góry płaszczyzną i = x 4- 2y + 5, którego podstawą jest obszar płaski D. leżący w płaszczyźnie z 0, ograniczony parabolą x y2 — 4 i prostą x = 5.

2



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Slajd12 Wytrzymałość na ścinanie Równanie każdej prostej w układzie x-y można przedstawić w postaci
9 Powyższą definicję można przedstawić w postaci graficznej (rys.1.1.) Wp Z =
29843 Skrypt PKM 1 00035 70 Siłę określimy z warunku równowagi Równanie powyższe można przedstawić w
Slajd14 (47) Rynek kapitału Popyt na kapitał w postaci krzywej popytu na ten czynnik produkcji można
skanuj0071 3 nagłos zaś dla spółgłosek. Sytuację w języku polskim można przedstawić w postaci układu
AGHOPIS ZAGADNIENIA Dane można przedstawić w postaci macierzowej oraz grafowej
Powyższe wyniki można przedstawić jako funkcją częstotliwości w
Test III Zadanie 1__J*<S. Liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci u
P1000080 10. Elementarny układ ergonomiczny - Każde stanowisko pracy można
Zdjęcie090 (5) Ola tego przypadku schemat blokowy układu przedstawiony na rys 5 można przedstawić w
Skan Oryginalne równanie ruchu można przedstawić w postaci, w której najwyższa pochodna jest po jed
5 (277) Dowolny dwójnik RLC przy danej częstotliwości można przedstawić w postaci dwu równoważnych m
Zadanie 5. (1 pkt) Jednostką pracy i depłajest dżul. Jednostki tej nie można przedstawić w postaci m
61014 Zdjęcie0155 (6) Dla tego przypadku schemat blokowy układu przedstawiony na rys. 4b można przed

więcej podobnych podstron