91142

A więc E_n = E₀ + ... (energia jest sumą energii z hamiltonianu zerowego i nieskończonej sumy całek z zaburzeń). Po przekształceniach uzyskamy wzór, na którym opiera się rachunek zaburzeń:

/„o h /o\+v-	^/?0	A H,,	/o^/o	A Hzh	ndj
\^nu nzh + ' ' /-i		J*^5 O 1 O

l*n

Wszystko to działa przy założeniu, że » H^ (hamiltonian zaburzenia daje niewielki wkład energetyczny w porównaniu z hamiltonianem zerowym) - wówczas wystarczą pierwsze 3 lub 4 wyrazy szregu, aby uzyskać poprawny wynik.

F — F

0    *-70 jest różnicą pomiędzy poziomami zerowymi

Łączymy rachunek zaburzeń z funkcją Blocha:

(ń₀ + H _d,)u_k(r)= ^En(k)u_k(r)

gdzie, jak wynika z poprzednich przekształceń:

H    ^tlkP

H_a=~—V² + V_kr(r) 2 m

\

)

m    m

Wstawiamy to do wzoru na energię w rachunku zaburzeń:

Dla k = 0 pochodna energii po wektorze falowym się zeruje: V_A E = 0. co oznacza, że funkcja E(k) ma w tym punkcie ekstremum. W powyższym wzorze znika drugi człon, zależny liniowo od k .

Jednocześnie iloczyn skalamy k • V możemy zapisać jako:

Zauważamy dodatkowo, że w liczniku mamy iloczyn dwóch całek wzajemnie sprzężonych, a więc kwadrat całki, który jest zawsze dodatni - możemy zlikwidować minusy. Uzyskujemy:

. du,

£„(*) = E„₀+4 Ż

m

z-

/=I l*n

a.v.

£„o E,o

k,kj

fik

Do tej energii musimy jeszcze dodać

E = E' +

trk²

2 m

gdzie

(m\hĄio)

oznacza skrócony zapis całki