95679

1/Trygonometryczny szereg Fouriera- całkowany na odcinku L²(0.T)

, ¹ fi , 2* [2

WTlT^COS " T 'lT

2k

sin(n — t)..../! = 1. T

2...}

1

2)zespolony szereg Fouriera - zbiór zupełny w L²(0,T) {

—/

¹ n = ±1,±2...} 3)szereg Shannona - zbiór zupełny w

przestrzeni dla sygnałów dolnoprzepustowych L²(-co,co) [J2fmSa(2/tfm(t--)),.../!= ±1,12...} 4)funcje Haara

2 fin

5)funkcje Walsha 6) wielomiany Lagrange*a    = 1,2...}

NORMA ELEMENTU PRZESTRZENI SYGNAŁÓW PODAĆ DEF.

Norma elementu przestrzeni to odwzorowanie elementu przestrzeni w zbiór liczb rzeczywistych dodatnich plus zero (II • II: x- > R* u{0}). Norma musi spełniać następujące aksjomaty:

1)    jeżeli 11x11=0 => x=C (x jest elementem zerowym przestrzeni)

2)    llaxll=llallllxll

3)    llx+yll<llxll+llyll

przykładowa def: dla przestrzeni L²: II .v 11= J PROCEDURA GRAMMA-SCHMIDT'A

1) {xi:i= 1 ...n} zb. Nieortog. 2) {yi:i=l...n} zb. Ortogon. 3) {zi:i= 1 ...n} zb. Ortonor. P.G-S. służy do sprowadzenia bazy nicortogonalncj do ortogonalnej. Przebiega ona następująco: 1) mamy bazę nicortogonalną |xl...xn} 2) tworzymy na jej podstawie bazę ortogonalna {yl...yn} 3) na podstawie utworzonej bazy ortogonalnej tworzymy bazę ortogonalną

y„

¹¹ >» 'I

{z 1 ...zn}.. Procedura ta jest procedurą iteracyjną w której y_n = x_n - |(x_A, z_k )z_K

CZYM RÓŻNIĄ SIE ALGORYTMY WYZNACZANIA DYSKRETNEJ REPREZENTACJI W PRZYPADKU BAZY ORTOGONALNEJ I NIEORTOGONALNEJ

Przy wyznaczaniu dyskretnej reprezentacji sygnału otrzymujemy układ n skalarnych równań liniowych z niewiadomymi ai; układ taki można zapisać w postaci macierzowej Aa^a. W przypadku bazy nicortogonalncj jego zasadniczą wada jest fakt iz należy obliczyć wszystkie iloczyny skalarne po obu stronach powyzszgo wyrażenia, oraz iż do rozwiaznia równania a^A-'a wymagane jest przeprowadzenie żmudnej operacji odwracania macierzy A. W przypadku bazy ortogonalnej wygodnie jest zastosować odpowiednią część procedury Gramma-Schmidfa w wyniku której z bazy ortogonalnej tworzona jest baza ortonormalna (czyli unormować ją) co z kolei sprawi iz zarówno macierz A jak i A-¹ będą macierzami jednostkowymi a ostatecznie sprawi iz a^a i zatem ze ai=(x,xi) dla i=l ...n.

DYSKRETNA REPREZENTACJA SYGNAŁÓW W KATEGORII P. SYGNAŁÓW

Jeśli mamy ustaloną bazę {xl.x2...xn} oraz*(/) =    a^f/) to ciąg a={al...an} jest dyskretną reprezentacja sygnału

przy danej bazie. Dla sygnału stochastycznego dyskretna reprezentacje można traktować jako odwzorowanie tego sygnału w odpowiedni ciąg zmiennych losowych.

RÓŻNICE MIĘDZY DYSKRETNĄ REPREZENTACJA SYGN. DETERMINIST. I SYG. LOSOWEGO

Dla syg. Losowego dyskretna reprezentacja jest odwzorowniem sygnału nie w zwykły ciąg a^{al...an} lecz w ciąg odpowiednich zmiennych losowych (tzn. w przestrzeń T^An lub T^Aco)

TW. O RZUCIE ORTOGONALNYM

Niech X bedzie przestrzenią unitarna a X^An jej n-wymiar. podprzestrzenią rozpiętą na ortogonalnej bazie {xi; i=l...n}. Jeżeli dla każdego xeX istnieje jeden i tylko jeden element x e xⁿ określony wzorem x - ^‘__l(x,x_l}x_l taki że dla każdego .v e xⁿ gdzie .v * .v zachodzi II .v - x ll<JI x - x II oraz wektor € = x - x J. xⁿ to wówczas x nazywamy nutem ortogonalnym elementu x na przestrzeń X^An. II x II² =11 x_m II² + II fil² TW. O NUCIE ORTOGONALNYM

TW. o N.O. zapewnia ze aproksymacja sygnałów przestrzeni X przez element podprzestrzeni X^An zostanie przeprowadzona z możliwie najmniejszym błędem inaczej mówiąc rozstrzyga problem umożliwienia prostego i efektywnego rozwiązania zagadnienia najlepszej aproksymacji.

OMÓWIĆ ZAGADNIENIE NAJLEPSZEJ APROKSYMACJI SYGNAŁÓW PRZESTRZENI X PRZEZ ELEMENT PODPRZESTRZENI X^An

Element x nie należący do pp. X^An można reprezentować elementem x e Xⁿ jedynie z pewnym przybliżeniem. Poszukiwanie najlepszegoprzyblizenia to treść zagadnienia najlepszej aproksymacji które można sformółowac następująco: niech X bedzie P. unitarną a X^An jej n-wymiar pp. Rozpiętą na bazie {xi; i=l...n}. Dla danego elementu