3360446506

Podstawowe własności liczb całkowitych 11

1.3.5.    Udowodnij, że liczba naturalna postaci 3m + 2 ( m 6 N) nie jest kwadratem żadnej liczby całkowitej.

1.3.6.    Uzasadnij, że suma kwadratów dwóch liczb nieparzystych nie jest kwadratem żadnej liczby całkowitej.

1.4. Część całkowita,. Jeżeli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, to istnieje największa liczba całkowita n spełniająca warunek n < x. Liczbę n nazywamy częścią całkowitą liczby x i oznaczamy symbolem [x] lub E(x) . Z określenia liczby [x] wynika, że

[x] < x < [#] + 1.    (*)

Istotnie, gdyby x > [x] +1, to liczba [x] +1 byłaby liczbą całkowitą większą od [x] spełniającą warunek [#] + 1 < x . Jest to sprzeczne z definicją części całkowitej liczby x .

Z nierówności (*) wynika, że 0 < x — [a:] < 1. Liczbę x — [x] nazywamy częścią ułamkową liczby x i oznaczamy symbolem {x} . Łatwo zobaczyć, że x = [a;] + {x} .

Przykłady: [-|] = -1, [4,7] = 4 , [-7,3] = -8 , {-i} = ± , {4,7} = 0,7, {-7,3} = 0,7.

1.4.1.    Wykaż, że jeżeli x , j/GK, oraz x < y , to [a:] < [y].

1.4.2.    Uzasadnij, że jeżeli a € (0,1) oraz n € N, to [—n + a) = —n.

1.4.3.    Uzasadnij, że jeżeli

(a)    x jest liczbą całkowitą, to [—a;] = — [#];

(b)    x nie jest liczbą całkowitą, to [—a;] = — [x] — 1;

(c)    zel, n G Z , to [x + n] = [x]+n.

1.4.4.    Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x oraz y zachodzi nierówność

[x + y\> [x] + [j/[.

1.4.5. Udowodnij, że jeżeli [aJ = [2/1 ? to \x — y\ < 1.