3360446510

Podstawowe własności liczb całkowitych 15

Z powyższych rozważań otrzymujemy następujący

Wniosek. Jeżeli NWD(m, n) = d , to istnieją liczby całkowite x i y takie, że mx + ny = d .

Uwaga. Zauważmy, że jeśli dla liczb m , n i d znajdziemy takie x i y , że mx + ny = d , to nie znaczy to jeszcze, że d = NWD(m, n). Na przykład, dla m = 1, n = 2 oraz d = 7 mamy 3m + 2n = d, ale 7 nie jest oczywiście największym wspólnym dzielnikiem liczb 1 i 2.

Jeżeli NWD(m,n) = 1, to mówimy, że liczby m i n sa względnie pierwsze.

1.6.1.    Pokaż, że jeżeli m|n, to NWD(m,n) = |m|.

1.6.2.    Pokaż, że jeżeli m = nq-\-r , to NWD(m, n) = NWD(n, r).

1.6.3.    Znajdź NWD(98,56).

1.6.4.    Pokaż, że NWD(n,n + 1) = 1.

1.6.5.    Pokaż, że dla dowolnego k E N zachodzi

NWD(2fc + l,2fc + 3) = l.

1.6.6.    Niech d = NWD(m,n) i niech m = dm\ oraz n = dni ■ Pokaż, że NWD(rai,ni) = 1.

1.6.7.    Załóżmy, że ułamek | jest nieskracalny. Sprawdź, czy ułamek jest nieskracalny.

1.6.8.    Pokaż, że jeżeli liczby m i n są względnie pierwsze oraz m\nk , to m\k .

1.6.9.    Załóżmy, że dane sa trzy liczby całkowite m , n , p, z których przynajmniej jedna jest różna od zera. Określ NWD dla tych liczb przez analogię do NWD dla dwóch liczb, a następnie oblicz NWD(24,36,120).

1.6.10.    Uogólnij definicję największego wspólnego dzielnika

na przypadek k liczb, tj. dla a\ , a2 ,    , a/- E Z. Zdefiniuj

NWD(ai,a2,... ,a&). Oblicz NWD(36,120,180,600).