3360446512

Podstawowe własności liczb całkowitych 17

1.7.6. W podręcznikach szkolnych można znaleźć następujące definicje NWW i NWD. „Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb m i n nazywamy najmniejszą nieujemną liczbę w zbiorze wspólnych wielokrotności m oraz n ”. „Największym wspólnym dzielnikiem liczb m i n nazywamy największą liczbę w zbiorze wspólnych dzielników m oraz n”. Posługując się tylko tymi „szkolnymi” definicjami pokaż, że

(a)    wspólna wielokrotność liczb m i n jest podzielna przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb min;

(b)    wspólny dzielnik liczb m i n jest dzielnikiem największego wspólnego dzielnika liczb min.

1.8. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. W literaturze zasadnicze twierdzenie arytmetyki przyjmuje różne (równoważne) sformułowania. Jedno z nich jest następujące

Twierdzenie. Liczba naturalna będąca dzielnikiem iloczynu dwóch liczb naturalnych i pierwsza względem jednego z czynników jest dzielnikiem drugiego, tzn. jeżeli n\ab i NWD(n, a) = 1, to n\b.

Dowód. Ponieważ n\ab i a\ab, więc ab jest wspólną wielokrotnością liczb n oraz a . Z definicji NWW wynika, że NWW(n, a)\ab . Istnieje więc liczba całkowita t taka, że NWW(n, a) -t = ab. Ponieważ NWD(n, a) = 1, więc NWW(n, a) = na. Stąd nat = ab, a stąd ostatecznie nt = b , czyli n\b .

1.8.1.    Pokaż, że jeżeli NWD(a,6) = 1 i c\a , to NWD(c, b) = 1.

1.8.2.    Pokaż, że jeżeli NWD(a, c) = 1 oraz NWD(6, c) = 1, to NWD(a6, c) = 1.

1.8.3.    Uzasadnij, że jeżeli

NWD(ai,a) = NWD(a2,a) = ... = NWD(a_n, a) = 1, to NWD(aiG2 • • • a_n, a) = 1.

1.8.4.    Wykaż, że każda liczba wymierna dodatnia daje się przedstawić jednoznacznie w postaci ilorazu dwóch liczb naturalnych względnie pierwszych (czyli w postaci ułamka nieskracalnego).