3360446523

Podstawowe własności liczb całkowitych 9

{m,ra + 1 ,m + 2,...} . Stosując powyższe oznaczenia możemy nadać zasadzie indukcji matematycznej następująca postać:

Niech M C No będzie zbiorem takim, że 1° m₀ e M ;

2° dla dowolnego k G N_mo , jeśli k G M , to H 1 G M. Wówczas N_mo C M.

Zasada indukcji matematycznej jest równoważna zasadzie minimum (ZM), która orzeka, że w każdym niepustym zbiorze A liczb całkowitych nieujemnnych istnieje liczba najmniejsza. Wykażemy teraz, że z ZIM wynika ZM ¹ .

Przypuśćmy, że A jest niepustym zbiorem liczb całkowitych nieujemnych, w którym nie ma liczby najmniejszej. Niech B będzie zbiorem liczb całkowitych nieujemnych zdefiniowanym w następujący sposób: n G B <=> dla każdej liczby całkowitej nieujemnej m, jeżeli m < n , to m £ A . Zauważmy, że 0 ^ A , bo w przeciwnym wypadku w zbiorze A istniałaby liczba najmniejsza, którą byłoby 0 . Zatem OgS.

Załóżmy, że n G B . Wtedy n + 1 ^ A, gdyż w przeciwnym razie n + 1 byłoby najmniejszą liczbą zbioru A . Wynika to stąd, że skoro n G B , więc z definicji zbioru B mamy

n £ A, n - 1 £ A, ..., 0 £ A.

Zatem w konsekwencji n+lG5.

Wykazaliśmy, że zbiór B spełnia założenia ZIM (w drugim sformułowaniu), więc B = No •

Biorąc pod uwagę definicję zbioru B , wnioskujemy, że A jest zbiorem pustym, co przeczy naszemu założeniu.

1.2.1.    Udowodnij, że z zasady minimum wynika zasada indukcji matematycznej.

1.2.2.    Korzystając z zasady indukcji uzasadnij, że 3|n³ + 5n dla dowolnego n G No .

Przy pierwszym czytaniu Czytelnik może pominąć to uzasadnienie.