4391598123

Dane jest równanie X² + (3m — 2)x = —ra — 2 z niewiadomą x. Sformułuj warunki, jakie powinien spełniać parametr ra, by to równanie miało dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest dodatnia.

Rozwiązanie:

x² + (3m — 2)x = —ra — 2 x² + (3ra — 2)x + ra + 2 = 0

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy A > 0.

A >0

(3ra — 2)² — 4 • 1 • (ra + 2) > 0 » 9ra² — 2 • 3m • 2 + 2² — 4ra — 8 > 0 9ra² - 12ra +4-4ra-8>0 9m² - 16/77 - 4 > 0

A_m = (-16)² -4*9- (-4) = 256 + 144 = 400 y/EHi = n/400 = 20

m e (-oo, —|) U (2, oc)

Dla m £ (—oo, — g) U (2, oo) równanie x² -f (3m — 2)x + ra + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki. Szukam dla jakiego m suma odwrotności jest dodatnia.

± ₊ l>0

Xi X₂

1 1

Xi x₂

x₂ Xi —— + ——

X\X₂ X\X₂

x₂

X\X₂

Xj + x₂ XiX₂

> o

Xj + x₂ X\X₂

Zamieniając ułamek na iloczyn otrzymuję nierówność, która ma takie same rozwiązanie jak powyższa.

(xi +x₂) •x\x₂ > 0

ze wzorów Viete’a:

c

x\x₂ = -a

b

x\ + x₂ = — a

3 m — 2

1

m 4- 2

1

> 0

—(3/77 — 2) (ra + 2) > 0

/ ' \

777! = |    m₂ = —2

—3(777. — |) (rn + 2) > 0

X

m e (—2, |)

Cześć wspólna rozwiązań m £ (—oo, —|) U (2, oo) i m £ (—2, |) to m £ (—2, — §)•

Odp. Dla 777 £ (—2, — |) równanie o:² + (3777 — 2)x = —ra — 2 ma dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest dodatnia.