6827068799

wGRUPA 1

ZAD. 1. Dana jest relacja R Q N²x N²(N-zbiór liczb naturalnych, zdefiniowana następująco: <a,b>R<c,d>«a*d=b*c

A)    O R jest relacją równoważności

B)    © R jest symetryczna i zwrotna, ale nie jest przechodnia

C)    O Pary <l,k> oraz <l,k>, gdzie k jest pewną liczbą naturalną, są ze sobą w relacji R

D)    © Gdyby R była zdefiniowana na zbiorze liczb wymiernych, czyli R £ W²x W*(W-zbiór liczb wymiernych), to byłaby relacją równoważności //wg mnie powinno być prawdziwe, ktoś wytłumaczy, dlaczego nie?

//a wytłumaczysz dlaczego tak? // bo fakt, że to Wymierne nic nie zmienia.

•    Zwrotność: <a,b> jest w relacji ze sobą, bo <a,b>R<a,b> « a*b = b*a (prawdziwe zarówno dla Nat, jak i Wym)

•    Symetria: jeżeli <a,b> jest w relacji z <b,a>, to <b,a> jest w relacji z <a,b>. Czyli jeżeli <a,b>R<b,a>, to <b,a>R<a,b>, czyli jeżeli a*a=b*b, to b*b = a*a (wg mnie prawdziwe zarówno dla Nat, jak i Wym)

•    Przechodniość: jeżeli <a,b>R<c,d> i <c,d>R<e,f>, to <a,b>R<e,f>. Czyli jeżeli a*d=b*c oraz c*f=d*e, to a*f=b*e. Przekształcone pierwsze: a=(b*c)/d. Przekształcone drugie: c = (d*e)/f. Drugie podstawione do pierwszego: a=(b*((d*e)/f)/d. Skrócone przez d: a=(b*e)/f, czyli a*f=b*e, czyli prawdziwe. I tu też mi się wydaje, że bez znaczenia, czy operujemy na Nat, czy Wym. czy li tru? @up mi też tak wyszło

//ZMIENIONE NA O A co jeśli weźmiesz <a,b> = <2,3> <c,d> = <0,0> <e,f> = <3,2>? Nigdzie nie jest powiedziane, że c i d muszą być różne. A wtedy masz z tych równań 0=0, 0=0,4=6. a zero wliczamy do naturalnych ? To zależy, ale teraz mówimy o wymiernych

ZAD. 2. OK OK Niech Ri ,R₂ będą relacjami równoważności na zbiorze X. Wówczas relacjami równoważności są również relacje:

A)    ®R,\R₂

B)    ®X²\R₂

C)    ®(Ri\R₂)U (R₂\R,)

D)    © (RiliR₂) \R, //powinno być dobrze (to “działanie” daje w wyniku R2//nie jeśli R1 i R2 mają część wspólną, a mają (zwrotność)

//relacja wynikowa z podpunktu D nie jest równoważna (bo nie ma zwrotności), i o to chodzi w pytaniu

// Suma R1 i R2 nie duplikuje ich części wspólnej, w tej nowej relacji jest ona tylko jedna, a następnie ją zabierasz

odejmwoaniem R1, więc w pwostałej relacji nie ma zwrotności, która była tą “obowiązkową” częścią wspólną.//

//(nie tylko “zwrotność", ale obowiązkowo przynajmniej zwrotność). Ona mówi że jeśli jest a, to istnieje <a,a>, czyli każda równoważna relacja jest zwrotna. Żadna odpwoiedź nie jest prawidłowa.

ZAD. 3. OK Niech A, B, C będą dowolnymi zbiorami. Prawdą jest, że:

A)    ®card(A)=card(B)=>AuB=A

B)    ®Au(B\A)=AuB

C)    ©Jeżeli x£A oraz x^B, to {x)£2^AUB

D)    © (A\B) U (B\A)= 0«Afl B= 0

ZAD. 4. Dana jest funkcja f: X—*Y całkowicie określona na X. Niech R £X² będzie relacją binarną na X określoną następująco: <x,y> e R wtedy i tylko wtedy, gdy f(x)=f(y). Wskaż, które z własności posiada relacja R: A) © R jest relacją antysymetryczną //zgadzam się, że tu jest fałsz, ale chcę się upewnić dlaczego dokładnie. Widać, że jest symetrczyna i chyba chociażby ten fakt wyklucza antysymetryczność, prawda? Bo właściwie jak się sprawdza warunek dla antysymetryczności, to fakt że <a,b> należy do R i <b,a> należy do R wcale nie implikuje (nie oznacza), że a=b, prawda?(chodzi mi właśnie w przypadku tej relacji)

nie wiem czy symetryczność wyklucza antysymetryczność, jednak tego nie mam nigdzie.

Ale tak jak mówisz, nie zachodzi taka implikacja i tyle. Mam y f(a) = f(b) i f(b) = f(a), a to nic nie mówi o zależności pomiędzy a i b. tak mi się wydaje. // dokładnie