6830718817

W6/7

Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna

Wprowadzenie

Danych jest (n+1) różnych punktów x₀, X,, ..., x_n z przedziału fa,b| oraz wartości pewnej funkcji y ~ f(x) w tych punktach

yo = ^f(^xo) > Yt = f(xi)......y_n = f(xj.

W przybliżeniach interpolacyjnych przyjmuje się, że funkcja przybliżająca F w punktach Xj pokrywa się z wartościami funkcji f. Wymóg len jest często niedogodny, gdy wartości f określone są empirycznie (np. są wynikami pomiarów). Wtedy wartości te mogą być obarczone błędami, i wówczas żądanie, aby szukana funkcja F przyjmowała dokładnie te wartości nic ma sensu.

Zajmiemy się teraz zagadnieniem bardziej ogólnym, w którym warunek, aby funkcja przybliżana i funkcja przybliżająca przyjmowały dokładnie te same wartości w punktach x, , nie musi być spełniony.

Przyjmujemy, że funkcja przybliżająca F jest określona przez zależność

F(x)= F(x; a₀, a,......a_m)

od (m+1) parametrów a_Q, a_r ..., a_m , przy czym m < n

Ogólnie , zagadnienie aproksymacji na zbiorze punktów X - {xo, Xj, ..., x„ } polega na wyznaczeniu parametrów a₀, a_!(..., a,_n tak, aby odległości y, (i = 0,1,... ,n) od F były minimalne. Sposób wyznaczania parametrów zależy od tego, jak rozumiemy to kryterium.

Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna

Niech <J> - (<&₀, (j),, <j>„ ..., ó_m) będzie układem (m+1) funkcji określonych na przedziale [a,b].

Będziemy rozważać zadanie aproksymacji liniowej polegające na przybliżaniu funkcji f kombinacjami liniowymi funkcji (j = 0, 1,..., m)

^Fm(^x> = X ^aJ’*j^(x)

j =0

Termin "liniowy" odnosi się do liniowej zależności F od parametrów aj; nie wymagamy, aby F zależała liniowo od x.

W aproksymacji średniokwadratowej dyskretnej, lub inaczej w metodzie najmniejszych kwadratów, współczynniki aj dobieramy tak, aby wyrażenie

A²

str 1

H^aj,....^) =    (y; - F_m(xj))² = ^

i =0    i =0

zwane odchyleniem średniokwadratowym, miało najmniejszą wartość.

Funkcję F_ln, dla której 11 osiąga minimum nazywamy m-tąfunkcją optymalną (względem układu <t> na zbiorze X).