82163

sir 1

W3

Interpolacja

Sformułowanie zadania interpolacyjnego

Danych jest ni l różnych punktów xq, X|,.... x_n z przedziału [a.bj. które nazywamy węzłami interpolacji, oraz wartości pewnej funkcji y - w tych punktach

yo - lTxo), yi - 1Txi)......y_n - flx_n).

Zadanie interpolacji polega na znalezieniu funkcji F, zwanej funkcją interpolującą, która w węzłach xj, i - 0,1,... ,n , pokrywa się z funkcją f

F(Xj) - fl[xi) dla i = 0,1,..., n .

Rozważamy zadanie interpolacji liniowej, tj. zadanie w którym funkcja interpolująca przedstawiana jest w postaci kombinacji liniowej

n

F(x)= ^ aj 0j(x)

j = 0

gdzie Ój, j ~ 0,1,... są funkcjami określonymi na przedziale [a,b]. Poszukiwanymi są tutaj współczynniki kombinacji liniowej aj, j - 0,1,... ,n. Pytania o istnienie i jednoznaczność funkcji interpolującej sprowadzają się do tego, czy układ równań liniowych

n

aj-0j(xj) = yi dla i = 0,1.....,n    (•)

j = 0

ma rozwiązanie oraz. czy to rozwiązanie jest jedyne.

		0o(xo) 01(xo)	• 0n(xo)
Oznaczymy	A =	Oo(xj) 0i(xj)	• 0n(xi)
		_0o(xn) 01 (xn)	• 0n(xn) _

Odpowiedź na powyższe pytania zależy od wyznacznika macierzy A. Jeżeli dct(A) * 0, to układ (*) ma jednoznaczne rozwiązanie. Znalezienie tego rozwiązania daje funkcję interpolującą.

Interpolacja Lagrange'a

Zadanie intepolacyjne Lagrange'a polega na znalezieniu wielomianu L„ , stopnia nic wyższego niż n, spełniającego warunki interpolacji

L_n(xj) = ftxj) dla i = 0,1,... ,n .

Wielomian L„ nazywamy wielomianem interpolacyjnym lagrange'a funkcji f opartym na węzłach xq. X],..., x„