9491406789

(2) Ciało jako przestrzeń liniowa

Każde ciało (matematyka) można rozpatrywać jako przestrzeń liniową nad jego dowolnym podciąłem. Na przykład, ciało liczb zespolonych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Wymiar tej przestrzeni wynosi 2 - jest ona izomorficzna z płaszczyzną euklidesową.

Podobnie, ciało liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych. Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa (wymiaru continuum). Dowolną bazę tej przestrzeni nazywamy bazą Hanieła.

Przestrzeń K?

Dla dowolnej liczby naturalnej n, rozważmy zbiór wszystkich uporządkowanych układów n skalarów z

ciała K: K„ = {(ki, k2..... k„): kj należy do K dla i = 1. 2..... n}. Jeżeli określić dodawanie takich

układów wzorem:    (ki, k2.....k_n) + (lj, I2.....I_n) = (kj + li, k2 + I2.....k„ + l_n)

oraz mnożenie przez skalar a wzorem:    a*(kj, k2.....k„) = (a*ki. a*k2.....a*k_n).

to otrzymamy n-wymiarową przestrzeń liniową nad ciałem K. Jeżeli przyjąć tu K = R. otrzymujemy n-wymiarową przestrzeń euklidesową.

Przestrzenie funkcyjne

Wektorami są tu funkcje rzeczywiste (lub zespolone) określone na pewnym zbiorze X, zaś skal arami liczby rzeczywiste (zespolone w przypadku zespolonym). Dodawanie funkcji (wektorów) jest określone wzorem:    (f+g)(x) = f(x) + g(x). a mnożenie funkcji (wektora) przez liczbę wzorem: (a*f)(x) = a*f(x)

np.: dodając funkcje f(x) = 2x i g(x) = x~ - x otrzymamy funkcję y = X² + a^-; mnożąc f przez - 2 otrzymamy funkcję y = - 4x.

Jeżeli zbiór X jest nieskończony, to tak otrzymana przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa.

Określając w zbiorze X dodatkowe struktury (np. prz.estrz.eni topologicznej) otrzymujemy p. liniowe o specyficznych własnościach, które są przedmiotami badań odrębnych działów matematyki - topologii, analizy matematycznej lub analizy funkcjonalnej.

Przestrzeń funkcji ograniczonych

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Zbiór B(X) wszystkich funkcji ograniczonych na X jest przestrze ni ą 1 i ni ow ą.

Przestrzeń funkcji ciągłych

Niech X będzie przedziałem domkniętym. Zbiór C(X) wszystkich funkcji ciągłych na X jest przestrzenią liniową.

Przestrzeń funkcji różniczkowalnych

Niech X będzie przedziałem otwartym. Zbiór C'(X) wszystkich funkcji różniczkowalnych na X jest przestrzenią liniową.

Przestrzeń ciągów bezwzględnie sumowanych

Niech X = N - rozważmy zbiór l¹ wszystkich ciągów x =(xi, X2, x₃, ...) dla których szereg liczbowy 3*/1 jest zbieżny. Z nierówności trójkąta wynika, że suma dwóch ciągów o opisanej własności znów ma tę własność, a to oznacza, że otrzymana przestrzeń jest przestrzenią liniową.

Przestrzeń ciągów sumo walnych z kwadratem

Niech X = N - rozważmy zbiór l² wszystkich ciągów x = (x_I. x₂, x₃, ...) dla których szereg liczbowy T|xi|² jest zbieżny. Z nierówności Schwarza wynika, że suma dwóch ciągów o opisanej własności znów ma opisaną własność, a to oznacza, że otrzymana przestrzeń jest przestrzenią liniową.

Przestrzeń macierzy' nad ciałem

Zbiór wszystkich macierzy wymiaru nxm nad danym ciałem tworzy przestrzeń liniową nad tym ciałem. Jej wymiar jest równy n*m.

Wielomiany

Pierścień K[X] wielomianów o współczynnikach w ciele K jest przestrzenią liniową nad K. Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa, jej bazą jest np. zbiór wielomianów {1. X. X², X\...}.

Morfizmy przestrzeni liniowych

Niech F: X —> Y będzie przekształceniem liniowym z przestrzeni liniowej X do Y. F nazywa się izomorfizmem, gdy jest bijekcją.

Dwie przestrzenie liniowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar.

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

-247 -

w w. matematyk a. s os no wiec.pl