1105139918

15

stan	prawdopodobieństwo wystąpienia	Ra	Rb
hossa	0.2	40%	30%
wzrost	0.3	20%	20%
stabilizacja	0.1	10%	10%
spadek	0.3	-10%	-20%
bessa	0.1	-30%	-20%

Wartości zmiennych losowych Ra i Rb to stopy wzrostu (które mogą też być ujemne) notowań spółek A i B w zaproponowanych tu możliwych stanach giełdy, w ustalonym okresie inwestycyjnym.

Na podstawie tak podanych danych surowych tworzymy tabelę rozkładu łącznego zestawu zmiennych (Ra, Rb), albo, jak niektórzy wolą powiedzieć, tabelę rozkładu zmiennej losowej dwuwymiarowej.

Następnie obliczamy podstawowe parametry rozkładów zmiennych Ra i Rb (tj rozkładów brzegowych wspomnianej zmiennej losowej dwuwymiarowej):

E(«a) = 0.09, E(Rb) = 0.05, <r²(R_A) = 0.0489, tr²(R_B) = 0.0445, cov(i?Ai Rb) = 0.0445, pab (= cor(i?A> Rb)) = 0.9539,

(t(R_a) = 0.22113, a(R_B) = 0.21095.

Uwaga 2.1. W dwóch przykładach w Wykładzie I mogliśmy tylko policzyć estymatory tych parametrów dla zmiennych stóp zwrotu Rx, Ry oraz Ra, Rb', rozkładów tamtych zmiennych nie znaliśmy. Dzięki estymatorom policzonym dla pierwszej pary tamtych zmiennych mogliśmy m. in. dopracować się wykresu podanego na Rysunku 1.2 w Wykładzie I.

Teraz zmienne losowe znamy dokładnie. Postawmy pytanie, jak w przykładzie „5 stanów giełdy” wygląda analogiczny do tamtego wykres na płaszczyźnie M²(<t, E) ?

(Dla nas na tym wykresie ważny jest tylko zaznaczony luk hiperboli. Znaczenie odcinka prostej widocznego poniżej luku hiperboli znane jest tylko studentowi - autorowi wykresu.)

Wprowadzimy teraz cały zestaw oznaczeń ogólnie przyjętych w teorii Markowitza [19, 21, 22]

—    tzw. Markowitz setup:

—    Ilość spółek notowanych na giełdzie oznaczamy k.

—    Zmienne losowe - stopy zwrotu z notowań tych spółek w ustalonym okresie inwestycyjnym oznaczamy R\, R2, ■ ■ ■, Rk- Są to zmienne losowe na tej samej (bliżej nie precyzowanej, por. powyższy długi cytat z pracy Markowitza) przestrzeni probabilistycznej, przyjmujące wartości z [—1, +00), o których zawsze będziemy zakładać, że ich wartości oczekiwane E(Rj) oraz wariancje cr²(Rj), i = 1, 2,..., k, są wszystkie skończone.

—    Będziemy pisali krótko: E(Rj) = pi, &(Ri) = (Ti, (Tij = cov(Rj, Rj) = pijOiOj, gdzie pij = cor(I?j, Rj) dla 1 < i 7^ j < k.

—    Wektor wartości oczekiwanych pi oznaczamy p = [pi\i₌₁, zaś wektor zmiennych losowych Ri oznaczamy R = [i^]f₌₁-

—    Będziemy mówić, że wektorowa zmienna losowa R ma wektorową wartość oczekiwaną E(i?) = p. Wektor odchyleń standardowych będziemy (czasem) oznaczać a = [ai\\₌₁.

—    Wreszcie macierz kowariancji wektorowej zmiennej losowej R = (R\, R2, ■ ■ ■, Rfc)^T oznacza-

‘ <7^2
<7^2 (Jij		<7^2 PijCTiTj
(Tij		PijTi<Tj