015

15

l.L Aksjomaty prawdopodobieństwa

Geometryczna

definicja

prawdopodo

bieństwa

Niech £2 będzie pewnym ograniczonym podzbiorem R^ky gdzie k — 1,2,3, tzn. £2 jest podzbiorem prostej (najczęściej odcinkiem), płaszczyzny lub przestrzeni trójwymiarowej. Zdarzeniami z 5? będą podzbiory z £2 mające miarę² m(A) - będącą odpowiednio długością, polem lub objętością. Prawdopodobieństwo zdarzenia A określamy wzorem

(1.1.5)

Tak określone prawdopodobieństwo nazywamy prawdopodobieństwem geometrycznym.

Przykład. Na odcinku [0,1] umieszczamy losowo, tzn. zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym oraz niezależnie, dwa punkty x i y. Punkty te można traktować jako współrzędne x i y punktu co należącego do kwadratu o wierzchołkach (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Kwadrat ten będzie teraz przestrzenią £2. Zdarzeniami elementarnymi są punkty z tego kwadratu: co — (x,y) G £2. Niech

A ~ {co G £2 : x G [<z,/?],0 ^ a < 6 ^ 1}, B— {coG£2:yG [c,c/],0^c<c/ ^ 1}.

Zgodnie ze wzorem (1.1.5) mamy

Pr (A) = Pr ({co : * G [a,b],b> a}) = b — a, Pr(B) = Pr ({co : y G [c,cf], d > c}) = d — c.

Ponieważ punkty są umieszczane niezależnie, to

Pr(AflJ5) — Pr ({co : (D £ [a,b\ x [c,d], a < b, c < d})

= (b — a)(d — c) — Pr (A) Pr(£).

Iloczyn kartezjański odcinków [a,b\ x [c,d] jest oczywiście prostokątem wewnątrz kwadratu £2.

Rozumowanie to pokazuje, że modelem dla niezależnego umieszczenia dwóch punktów na odcinkach jest umieszczenie jednego punktu w prostokącie.

Niech A_d będzie zdarzeniem polegający na tym, że \x~y\ < d, tzn.

A_rf = {© :

x — y | < d} .

Zbiór punktów zbioru A_d leży wewnątrz obszaru obwiedzionego grubszą linią na rysunku 1. Pole tego obszaru jest równe

Pr(AJ = 1 - (1 - df.