7,8

P(A u B) = P(A) - P(A n B) + P(A n B) + P(B) - P(A n B) co daje tezę.

6. Prawdopodobieństwo warunkowe. Niech A i B będą zdarzeniami losowymi i niech P(B)>0, wtedy liczbę

P(A \ B) =

P(B)

nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A przy warunku B.

7. Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi gdy P(A u B) =P(A) • P(B)

Uwaga: Jeśli zdarzenia A i B są niezależne to P(A\B)=P(A).

8. Zdarzenia Ai, A₂,... , A_n są niezależne zespołowo, jeżeli prawdopodobieństwo iloczynu dowolnych k zdarzeń spośród nich jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.

9. Prawdopodobieństwo całkowite. Jeżeli zdarzenia losowe Ai, A₂,... , A_n tworzą

zupełny układ zdarzeń (tzn. V A_inA_j=0 i IlAj = Q ) oraz P(Aj)>0

tej    ^1_*

to V B e A mamy P(B) = ^P(A_i) P(B\A_i).

i=l

Dowód: Z faktu, że A, tworzą zupełny układ zdarzeń wynika, że B = |J(B n A_;) a zdarzenia (B n Aj) są wykluczające się, zatem P(B) = ^P(BnA_;). Ale z

i=1

własności 6. wynika, że P(B n Aj)=P(Aj) P(B\Aj) co kończy dowód.

10. Schemat Bayesa. Przy założeniach z własności 9. oraz P(B)>0 mamy dla dowolnego zdarzenia A_k

P(A_k\B) =

P(A_k)-P(B\A_k)

XP(A_i)-P(B\A_i)

i=l

P(A o B)

Dowód: Z własności 6. mamy P(A_k \B) = -    —. Ponieważ dale]

P(A_k n B)= P(A_k)'P(B\A_k) a P(B) jest określone w 9. to otrzymujemy tezę.

11 .Prawdopodobieństwo geometryczne. Niech £1 będzie obszarem w n-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej IFf . Niech zbiory A c £1 mają naturalną miarę ji, 0<ju<°° (np. objętość w IR³ , pole w IR² , długość w IR¹), tzn. będą to podzbiory (niezdegenerowane) n-wymiarowe w przestrzeni n-wymiarowej.

Niech 0<p(£2)<<~. Wtedy dla wyżej opisanych A przyjmujemy

P(A) =

P-(A)

p(D)

Liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem geometrycznym zdarzenia A. Łatwo wykazać, że aksjomaty (2) są spełnione.

Przykład 2. Z odcinka <0,1 > wybierzmy losowo dwie liczby p i q. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że równanie x²+px+q=0 będzie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie. Niech £1 =<0;1> * <0;1>. Dwa różne pierwiastki otrzymamy, jeśli A>0,

1    V i

up =

12

czyli q<-p². Ale p(£2)=1 stąd P(A) = p(A) = f-

4    ^J 4

^    o ^

8