1673068232

14

ZBIGNIEW BLOCKI

Wtedy g e 0(Q \ {2;}) fi C(fi), zatem Wniosek 3.3 implikuje, że

0 =

‘dK(z₀,r) C ~^z

f    g(Qd C= /

JdK(zo,r)    J d.

d( - 2mf(z).

Otrzymaliśmy zatem (5.1). Druga część tezy wynika z faktu, że możemy teraz różniczkować pod znakiem całki, zauważmy, że

□

Druga część Twierdzenia 5.1 jest specjalnym przypadkiem ogólnego rezulatu o holomorficzności funkcji danej wzorem całkowym dla dowolnej drogi (nazywanego lematem o produkcji funkcji holomorficznych).

Lemat 5.2. Załóżmy, że 7 jest dowolną drogą w C, natomiast g funkcją ciągłą na 7* . Połóżmy

Wtedy f e 0(C \ 7*), / jest C-różniczkowalna dowolną ilość razy oraz dla n — 1,2,... mamy

I Ćwiczenie I Obliczyć /    -—-—— dz.

- JdK(0,2) (Z + l)²

Jeżeli rozpatrzymy wzór Cauchy’ego dla z = Zq oraz parametryzację £ = Zo+re¹¹, 0 < t < 27T, otrzymamy twierdzenie o wartości średniej.

Wniosek 5.3. (Poisson, 1823) Jeżeli f jest funkcją holomorficzną w otoczeniu koła K(zo,r), to

□

Bezpośrednią konsekwecją wzoru Cauchy’ego jest także nierówność Cauchy’ego (1835).

Twierdzenie 5.4. Niech f € 0(K(zo,r)) będzie taka, że \f\ < M dla pewnej stałej M. Wtedy

Dowód. Wystarczy zastosować wzór Cauchy’ego w kole K(zo,p) dla p < r oraz (3.3), a następnie skorzystać z dowolności p. □