1673068239

ZBIGNIEW BLOCKI

Wracając do współrzędnych biegunowych, możemy je teraz zapisać w postaci 2 _ _re*v> Dla 2^0 przez arg 2 oznaczamy zbiór argumentów liczby 2, tzn.

arg 2 := {<p G M : 2 = |2|e*^v}.

Ponieważ e^^¥>+27r) = e¹^, dla dowolnego <po G arg 2 mamy

arg 2 = {(/Po + 2/C7T: k € Z}.

Dla każdego 2 G C*(:= C\ {0}) znajdziemy dokładnie jeden element arg 2 należący do przedziału [—7r, 7r). Nazywamy go argumentem głównym liczby 2 i oznaczamy Arg2. Funkcja Arg, określona na C*, jest nieciągła na półprostej (—00,0).

Możemy teraz podać geometryczną interpretację mnożenia w C: jeżeli 2 = re*^v, w = pe¹^, to zw = rpeczyli mnożymy długości, a dodajemy argumenty. Możemy stąd również wywnioskować wzór de Moivre’a: z tego, że    = e^tnip

otrzymamy

(cos <p + i sin ip)ⁿ = cos(mp) + i sin(n</?),    </? G M, n G N.

Dla danego 2 G C oraz n G N przez pierwiastek 2 stopnia n rozumiemy zbiór \fz :={iuGC: wⁿ = z}.

Zapisując z i w we współrzędnych biegunowych:

z = re^iv, w = peⁱ*,

otrzymamy warunki

1 /„    , tp+ 2far

p = r ' , w =-, k G Z.

n

Ponieważ e¹^ = e^l^^;+27r\ dla A: = 0,1,..., n — 1 otrzymamy wszystkie rozwiązania. Zatem

Ufi = {|2|^1/neⁱ^^+2fc7r)/n : fe = 0,1,..., n - 1}.

W szczególności, pierwiastek stopnia n z liczby niezerowej jest zawsze zbiorem n elementowym.

| Ćwiczenie] Udowodnić, że rozwiązaniem równania kwadratowego w C: az² + bz + c = 0,

gdzie a G C*, 6, c G C, jest

-6+ VA

^Z~    2 a    ’

gdzie A = b² — 4ac, przy czym \/A jest zbiorem dwuelementowym jeżeli A / 0 - w tym przypadku zawsze otrzymamy dwa rozwiązania (jedno jeżeli A = 0).

W przypadku wielomianów dowolnego stopnia mamy rezultat niekonstruktywny, tzw. zasadnicze twierdzenie algebry.

Twierdzenie 1.1. Każdy niestały wielomian zespolony ma pierwiastek.