201(1)

Po przejściu do współrzędnych biegunowycn całkę wewnętrzną obliczy-

liśmy podstawiając /Ż5-f-g² = t.

o    j>²-fr²^!00

^²+j²<I0O

2* 10

Podstawiając otrzymane wartości do wzoru (3) znajdujemy

x_c =    -

«*    5/5-1

_ m_yz _ 25/5 + 1

W zadaniach 924—928 obliczyć pole powierzchni:

924.    2x+2yĄ-z = 8a, zawartej wewnątrz walca x²+y² = R².

925.    Części walca x²-\-y² = R², zawartej między płaszczyznami y-\-z — 0

i z = 0.

926.    Części walca y²+z² = R², zawartej wewnątrz walca x²+y² = R².

927.    Części paraboloidy x²+y² — 6z, zawartej wewnątrz walca x²+ + y²= 27.

928.    Części sfery x²-\-y²+ź² = 3a², zawartej wewnątrz paraboloidy

x²+y² — 2 az.

929.    Obliczyć masę powierzchni walcowej ;c²-f>’² = R², zawartej między płaszczyznami z — 0 i z = H, jeżeli w każdym jej punkcie gęstość powierzchniowa jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości tego punktu od początku układu.

930.    Znaleźć masę powierzchni sześcianu jednostkowego (o krawędzi równej jedności), jeżeli w każdym jej punkcie gęstość powierzchniowa jest równa iloczynowi odległości tego punktu do trzech krawędzi sześcianu, wychodzących ze wspólnego wierzchołka.

931.    Znaleźć środek ciężkości powierzchni z = | R²—x²—y² półkuli, jeżeli w każdym punkcie tej powierzchni gęstość powierzchniowa jest wprost proporcjonalna do odległości punktu od promienia prostopadłego do podstawy półkuli.

932. Znaleźć środek ciężkości jednorodnej powierzchni stożka a^z² = =b²(x²+y²); 0 < z O.

ELEMENTY TEORII POLA § 1. Pole skalarne. Pochodna kierunkowa.

Gradient

Polem skalarnym nazywamy plaski albo przestrzenny obszar, w którym każdemu punktowi M przyporządkowana jest określona wartość pewnej skalarnej wielkości fizycznej u = u(M). Aby więc pole skalarnej wielkości u było określone należy określić skalarną (liczbową) funkcję u(M).

Funkcja u(M), określająca płaskie pole skalarne, jako funkcja punktu M(x, y) zależy od dwóch zmiennych: u = u{x, y), a funkcja określająca przestrzenne pole skalarne, jako funkcja punktu M(x, y, z) zależy od trzech zmiennych: u = u(x, y, z).

Liniami równych wartości (poziomicami albo izoliniami) płaskiego pola skalarnego nazywa się zbiór punktów płaszczyzny, w których funkcja pola przybiera jednakowe wartości. Linia równych wartości, we wszystkich punktach której funkcja pola ;;(.v, y) ma jedną i tę samą wartość stałą C, jest określona równaniem u(x, p) = C; różnym stałym wartościom Ci, Ci, C3,... funkcji pola odpowiadają różne linie równych wartości (różne poziomice) u(x, y) — Ci, u(x, y) = C₂, u(x, y) = C₃,...

Powierzchnią równych wartości (warstwicą) przestrzennego pola skalarnego nazywamy zbiór punktów przestrzeni, w których funkcja tego pola ma jednakowe wartości. Warstwica, w każdym punkcie której funkcja pola ^u(x, y, z) ma jedną i tę samą wartość C, dana jest równaniem u(x, y, z) = C.

Przez każdy punkt pola przechodzi tylko jedna (poziomica) warstwica; Spełniają one cały rozważany obszar i nie przecinają się wzajemnie.

Pochodną kierunkową funkcji u (Al) w kierunku MP nazywamy granicę stosunku różnicy u(MJ—u(M) do długości skierowanego odcinka MMi, Sdy punkt M_x dąży do punktu M, pozostając przy tym na prostej MP.

405