1862543797

modelu dwumianowym z dokładnym opisem filtracji. Ceny opcji jako przykład martyngału. Własność Markowa. Osłona przed ryzykiem dla wystawiającego opcję. Przejście graniczne we wzorze na cenę opcji.

3.    Twierdzenia fundamentalne (7 godzin). Pierwsze twierdzenie fundamentalne w jednym kroku. Lemat o separacji. Transformacja martyngałowa. Twierdzenie o reprezentacji w modelu dwumianowym. Wersja twierdzenia dla wielu kroków. Drugie twierdzenie fundamentalne. Wiele walorów, charakteryzacja zupełności przez dopasowanie liczby stopni swobody do liczby walorów.

4.    Instrumenty zależne od trajektorii (8 godzin). Definicja opcji amerykańskiej jako obwiedni Snella. Momenty zatrzymania, optymalne. Procesy zastopowane, własności. Własności martyngałowe obwiedni, charakteryzacja. Przykłady momentów optymalnych: twierdzenia o momencie maksymalnym i minimalnym. Rozkład Dooba submartyngału i zastosowanie do charakteryzacji momentów optymalnych. Wycena opcji amerykańskich w drzewach dwumianowych, osłona przed ryzykiem. Kontrakty futures w drzewach dwumianowych. Opcje egzotyczne.

5.    Modele stochastycznych stóp procentowych (6 godzin). Drzewo dwumianowe cen obligacji zerokupo-nowych. Problemy z budową modelu wolnego od arbitrażu. Modele wieloczynnikowe. Wycena instrumentów pochodnych na stopy procentowe (cap, floor). Wycena kontraktu zamiany i opcji na zamianę (swaption). Literatura:

1.    S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance I, The Binomial Asset Pricing Model, Springer 2004.

2.    M. Capinski, T. Zastawniak, Mathematics for Finance, Springer, London 2007.

3.    H. Fóllmer, A. Shied, Stochastic Finance, an introduction in discrete time, de Gruyter, Berlin 2004.

4.    S. Pliska, Introduction to Mathematical Finance. Discrete time models, Blackwell, Oxford 1997.

5.    R. Elliott, P.E. Kopp, Mathematics of Financial Markets, Springer 2005.

Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń.

Forma zaliczenia: forma zaliczenia ćwiczeń: dwa kolokwia, forma zaliczenia wykładu: egzamin ustny.

| FIVs7-TP | TEORIA PORTFELA |

Cele przedmiotu: Poznanie klasycznych metod zarządzania ryzykiem opartych na odkryciach, które uzyskały nagrody Nobla. Rozwinięcie narzędzi wykorzystywanych ostatnio w niezupełnych modelach rynku.

Zawartość programowa:

1.    Teoria Markowitza (6 godzin). Miary ryzyka i zwrotu. Wariancja portfela dla dwóch walorów, charakteryzacja zbioru portfeli osiągalnych. Uwzględnienie waloru wolnego od ryzyka i optymalizacji opartej na krzywych obojętności. Twierdzenie i separacji, wyznaczenie portfela rynkowego. Uwzględnienie stopy lokaty różnej od stopy pożyczki. Przypadek dowolnej liczby walorów, wzór na ryzyko portfela. Wyznaczenie brzegu efektywnego i linii rynku kapitałowego. Twierdzenie o redukcji do dwóch walorów. Uwzględnienie ograniczeń na krótkie pozycje.

2.    Model CAPM (6 godzin). Definicja współczynnika 0, twierdzenie o postaci oczekiwanego zwrotu; premia za ryzyko. CAPM w modelu dwumianowym. Wersja wzoru dająca wartość waloru, pojęcie równoważnika pewności. Pokazanie równoważności CAPM z teorią Schweizera minimalizacji ryzyka; problem ujemnych cen. Zastosowanie CAPM i teorii portfela do finansów firm. Zastosowanie współczynnika 0 do osłony przed ryzykiem z wykorzystaniem kontraktów terminowych. Teoria APT. Miary efektywności portfeli inwestycyjnych.

3.    Miary ryzyka (6 godzin) Pojęcie koherentnych miar ryzyka, aksjomaty, przykłady i kontrprzykłady. Pojęcie dominacji stochastycznej. Zbiory dopuszczalne, twierdzenia o równoważności. Definicja wartości narażonej na ryzyko (VaR) i budowa koherentnych modyfikacji (warunkowy VaR). Wykorzystanie opcji sprzedaży do zarządzania VaR.

4.    Rynki niezupełne (10 godzin). Funkcje użyteczności, użyteczność von Neumana-Morngensterna. Twierdzenie o równoważności problemu optymalizacji i braku arbitrażu. Walory Arrow-Debreu. Wektor cen stanów i miara martyngałowa. Przykłady funkcji użyteczności, zgodność z klasyczną teoria portfela. Uwzględnienie konsumpcji, wycena w stanie równowagi, optymalność w sensie Pareto. Miara awersji do ryzyka (współczynnik Arrowa-Pratta). Wycena instrumentów pochodnych z wykorzystaniem funkcji użyteczności. Elementy sterowania stochastycznego, warunki Bellmana.

5.    Portfele optymalnego wzrostu (2 godziny). Problem maksymalizacji stopy zwrotu, logarytmiczna funkcja użyteczności. Strategia Kelly’ego. Strategia pompowania. Obszar dopuszczalny, twierdzenie o dwóch portfelach. Literatura:

6