2277150840

Formalnie możemy wyłączyć w ostatnim równaniu przed nawias funkcję skalarną otrzymując matematyczną formę operatora gradientu w postaci:

(1.7)

V =

. 8 . 8 ,8

i — + i — + k-—

8x 8y 8z

Bardzo istotną w fizyce jest funkcja skalarna, która jest odwrotnością długości wektora położenia.

I

Jx²+y²+z²

(1.8)

Jest ona bezpośrednio związana z polami sił występującymi w przyrodzie, dlatego warto w formie ćwiczenia wyznaczyć jej gradient. W tym celu liczymy kolejne pochodne cząstkowe:

df_-2x____(1.9)

^&~2 (x²+y²+z²Y^{2    ,J}

df___y_,    I¹-¹⁰)

dy r³ ’ dz r³

otrzymując w rezultacie:

.-x    .-y    . -z

^l~T ⁺ i~T ^{+ k}~T

r³

(ix + iv + k.')

r

(1.11)

Jest to warty zapamiętania rezultat, który pozwala wyrazić podstawowe siły w postaci gradientu funkcji skalarnych zwanych potencjałami pola. Operator gradientu może również działać na funkcje wektorowe

\(x,y,z)= A_x(x, y,z)+ A_y(x,y,z)+ A_:(x,y,z)    (1-12)

zarówno w formie iloczynu skalarnego dając w rezultacie dywergencję pola wektorowego:

V-A

dA_x dA_y dx dy

dA_z ' dz

- divA

(1.13)

jak również w formie iloczynu wektorowego, który prowadzi do wektora rotacji pola:

12