1953478380

(a)    L : R² —> R , obrót o kąt a = 7r/3 wokół początku układu;

(b)    L    : R²    —> E²,    rzut prostokątny na prostą x 4- y =    0;

(c)    L    : R³    —> E³,    symetria względem płaszczyzny y =    z\

(d)    L : R³ —> E³, obrót wokół osi Oy o kąt7r/2.

79. Wyznaczyć jądra, obrazy oraz rzędy przekształceń liniowych:

(a)    L : R² —* E, F (x\X2) = x\ — 3x2;

(b)    L    : R²—» R²,    F (x, y) = (x + y, 2x + 2y);

(c)    L    : R³    —* R³,    F (x, y, z) = (—x, 5x + y, y - 2z);

(d) L:R—* R'¹, F(x) = (0,x,0, —x).

80. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układy równań:

„    ,    f 3x — 2y — 5z + t = 3,

+ V + 2z = -1,

/ \ ) rt    , o A V I 2x - 3j/ + z + 5t = -3,

{&) \2x - y + 2z = -4,    (b) <

'    .    „    x + 2 y    -41 — -3,

4x + y + 4z = —2;

^y    ’    x - y - 4z + 9t = 22.

81. (a) Znaleźć trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty (—1,2), (0, —1), (2,4).

(b)    Wyznaczyć współczynniki a, b, c funkcji y = a2^x + 63* + c4^x, która w punktach —1,0,1 przyjmuje odpowiednio wartości 3/4, 1, 1.

(c) Funkcja y (x) = A cos 2x + B sin 2x spełnia równanie różniczkowe y" — 6y' + 13y = 25sin2x. Wyznaczyć współczynniki A, B.

82. (a) Dla jakich wartości parametru m, podany układ jednorodny ma niezerowe rozwiązanie

mx +	y	+	2z = 0,
2x -	y	+	mz = 0,
mx +	y	+	Az = 0?

(b)    Dla jakich wartości parametrów a, 6, c, d, podany układ równań liniowych jest sprzeczny

x + y    = a,

z + t — b,

X + z = c, y    4- t = d?

(c)    Znaleźć wartości parametru p, dla których podany układ równań liniowych ma tylko jedno rozwiązanie

{x + 2y — 3z = —1,

2 x — py + z = 3,

2x + y - pz =    5.

★★★

83. Korzystając z definicji wyznaczyć wektory i wartości własne przekształceń liniowych:

(a)    symetria względem osi Oy w przestrzeni R²;

(b)    obrót w przestrzeni R³ wokół osi Ox o kąt 7t/6;

(c)    symetria w przestrzeni R³ względem płaszczyzny yOz;

(d)    rzut prostokątny na oś Oy w przestrzeni R³.

9