2567802540

Założenia nakładane na prawą stronę równania są istotnie słabsze niż dotychczas znane. Zakładamy słabą-słabą ciągową ciągłość funkcji / zamiast ciągłości, słabą całkowalność funkcji w sensie Pettisa. Przyjmujemy także słabszy warunek na zmniejszanie miary niezwartości. Ponieważ istnieją funkcje słabo-słabo ciągowo ciągłe, które nie są ciągłe, ani słabo ciągłe [20], uzasadnionym jest rozpatrywanie odwzorowań słabo-słabo ciągowo ciągłych.

Zanim podam definicję pseudo-rozwiązania rozważanego zagadnienia, przypomnę definicję odwzorowania słabo-słabo ciągowo ciągłego.

Definicja 2.6. Funkcję g: E -» E, nazywamy słabo-słabo ciągowo ciągłą, jeżeli dla każdego ciągu x_n słabo zbieżnego do x₀ w przestrzeni Banacha E, ciąg g(x_n) jest słabo zbieżny w przestrzeni Banacha E.

Definicja 2.7. Funkcję x: l_a -* E nazywamy pseudo - rozwiązaniem zagadnienia (2.2), jeżeli spełnia poniższe warunki:

(i)    x jest silnie absolutnie ciągłą funkcją, (m-1)- razy słabo różniczkowalną,

(ii)    V x'eE' 3 A(x") x*x:l_a->E jest m razy różniczkowalne,

mesA(x')=0

A(x’)cl_a

(iii)    (x*x^(m~¹⁾y(t) = x*f(t, x(t)) dla każdego t 6 A(x *) oraz spełnione są warunki

*(0) = 0,*'(0) = !J,.....*<”*-««)) =

Niech B = [x 6 E: ||a:|| < b,b > 0},

fwc o = _P(t) + m i‘m ... (R) ;₀'"-²(p)    ...dt₂ it„

gdzie symbole (/?) J_Q^£ /(s)ds, (P) J_Q^£ f (s)ds oznaczają odpowiednio słabą całkę Riemanna oraz całkę Pettisa. Ponadto

(    0,    m = 1

Wybierzmy dodatnią wartość d < a taką, że

Zy-łbi^J.^+M^^<b’ d^m<l m> 1, gdzie M = sup{||/(t, x)||: teI_a,xeB}. Niech (3 oznacza słabą miarę niezwartości.

Główny wynik pracy (7) stanowi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2.8 (7). Załóżmy, że dla każdej silnie absolutnie ciągłej funkcji x: I_d -» E funkcja /(■, x(-)) jest całkowalna w sensie Pettisa, f(t,-j jest słabo-słabo ciągowo ciągła oraz spełnia warunek P(f (I_d x X)) < h(p(X)j dla każdego X c B,

gdzie h jest funkcją taką, że h(u) < u dla u 6 R+. Wtedy istnieje pseudo-rozwiązanie zagadnienia (2.2) na przedziale Id ^c I_a- Zbiór S wszystkich pseudo-rozwiązań zagadnienia (2.2) na przedziale Id ^c I_a jest zwarty i spójny w przestrzeni (C(l_d, E), to).

12