2567802544

(3) /* = V = “ • f' - V - ^££^¹ » przypadku gdy T = ?""={<)': te N„lq > 1.

W pracy (16) rozważamy równanie dynamiczne postaci:

(2.4)

*(0) = x₀, ^te_/-

gdzie / = {teT: 0 < t < oo}.

Uogólniamy pewne definicje i pojęcia znane dla funkcji f:T -* R na przypadek funkcji f:TxE-*E.

Definicja 2.15. Niech u:T -* E. Mówimy, że funkcja u jest słabo A-różniczkowalna w punkcie teT,

jeżeli istnieje element Y (tjeE taki, że dla każdego x*eE* funkcja x’u jest A - różniczkowalna w punkcie

t oraz (x*u)^A(t) = (x*K)(t). Funkcję Y nazywamy słabą A-pochodną funkcji u oraz oznaczamy u^&w.

Definicja 2.16. Funkcję x: J -* E nazywamy słabym A-rozwiązaniem problemu (2.4) jeżeli x posiada

słabą A- pochodną oraz spełnia równanie (2.4) dla wszystkich tej.

W przypadku słabo-słabo ciągowo ciągłej funkcji / rozwiązanie równania (2.4) jest równoważne z

rozwiązaniem równania postaci x(_tj = x₀ + wC J_Q /(s, x(s))As, tej, gdzie całka jest rozumiana jako

słaba A-całka Cauchy’ego (tzn. jeżeli U^&w(t) — u(t) dla każdego t, to słabą A-całką Cauchy’ego

nazywamy całkę postaci wC J u(s)As = U (t) — U (a) ).

Niech B_r = [xeE: ||x|| < r}, r > 0 będzie kulą w przestrzeni Banacha E. Rozpatrzmy przestrzeń

funkcji ciągłych C(/_a, E) z topologią słabą tzn. przestrzeń

(C(/_a, E),(o) = (C (I_a, E),(T(C(I_a,E),C* {I_a, £')))•

Niech f:JxE-*E spełnia warunek \\f(t,x(t))\\ < b^t) + b₂(t)\\x(t)\\ dla każdej pary

(t,x)ej X E, gdzie b_lf b₂ są ograniczonymi i całkowalnymi funkcjami z przestrzeni C_rd(J, R) funkcji

rd-ciągłych. Ponadto niech M(t) będzie rozwiązaniem zagadnienia

M⁴(t) = f>i(0 + f>₂(0M(0, M(0) =x₀.

Załóżmy, że b_t i b₂ są funkcjami takimi, że M₀ = sup M(t) < oo. Niech

tej

Su, ={*£ (C_ra(/,£),<o):||*(t)ll <Mo.ll*(0-*(s)ll S Cl|i>ill + l|2>zll ' M₀)|t — s|.

t,sej,xeB_M }.

W pracy (16) udowodnione zostało twierdzenie o wartości średniej dla funkcji o wartościach w przestrzeni Banacha, zdefiniowanej na skali czasowej oraz lemat typu Ambrossettfego [15] dla takiej funkcji, co pozwoliło udowodnić następnie główny wynik pracy (twierdzenie 2.19).

Twierdzenie 2.17 (16). Jeżeli funkcja u:J -* E jest słabo A-całkowalna wtedy !,_d u(t)AtE/i₄(/a) ■ ćórmu(l_d),

gdzie l_d jest dowolnym podprzedziałem przedziału J oraz FaCU) oznacza miarę A-Lebesgue'a przedziału l_d.

16