2567802549

Wynik uzyskany w pracy (30) dotyczy istnienia rozwiązania typu Caratheodory ego nieliniowego zagadnienia Sturma - Liouville’a:

(2.7)    [p(f)x\t))^V +f(t,x(= o, te] = [0, co) n r

(2.8)    ctix(0) - /?! lin^ p(t)x^A(t) = 0, a₂ lim x(t) + /?₂ lim p(t)*^A(t) = 0

w przestrzeni Banacha.

W pracy [108] Topal, Yantir oraz Cetin udowodnili istnienie rozwiązania równania (p(0*ⁱK>)¹’ +x$<X>f(t,x(t)) = o, o < t < co na nieograniczonej skali czasowej. W omawianej pracy uzyskujemy rozwiązanie typu Caratheodory’ego dla nieco szerszego zagadnienia (2.7) - (2.8).

Przypomnijmy, że funkcję f: T X E³ -* E nazywamy funkcją Caratheodory 'ego jeśli:

(i)    /(t, x, x_x, x₂) jest funkcją ograniczoną,

(ii)    f(t, x, x₁₍ x₂) jest mierzalna ze względu na teT dla wszystkich (x, x_lt x₂jeE³,

(iii)    f(t,x,x₁,x₂) jest ciągła ze względu na x,x₁,x₂ dla p_A prawie wszystkich teT, gdzie p_A oznacza miarę Lebesgue’a przedziału rozpatrywanego na skali czasowej.

Funkcję x:T -* E nazywamy rozwiązaniem Caratheodory’ego zagadnienia (2.7)-(2.8)jeśli:

(i)    x jest A - różniczkowalna na T^k,

(ii)    x^A: T -* E jest V- różniczkowalna na T* = T^k n T_k,

(iii)    x^AV:T* -* E jest ciągła i x(-) spełnia p_A prawie wszędzie na 7* równanie (2.7) wraz z warunkami początkowymi (2.8), gdzie T^k,T_k oznaczają odpowiednio skale czasowe, na których funkcja x jest odpowiednio A oraz V różniczkowalna.

Zakładamy, że

(Al) p:T -* R jest funkcją V - różniczkowałnąna przedziale T_k = [0,oo)_fc,p(t)    0,V teT

oraz p^v: T_k -* R jest ciągła i zachodzi, J.⁰⁰ As/p(s) < oo,

(A2)    f:T x E³ -* E jest funkcją Caratheodory’ego,

(A3) <Zi,a₂,ft,/S₂eK, \a,\ + |ft| * 0, |a₂| + |ft| * 0, a₂ft +    + <*i<*₂

W pracy wykorzystujemy równoważne zagadnieniu (2.7)-(2.8) równanie całkowe

x(t) = f G(t,s)f(s,x(s),x^A(s),x⁷(s))7s,

Jo

gdzie Cfts) = j{u£)u₂(t) o < l < t < Z ^{D =} “fWPzft) -«i(t)uf(t), “i (0 = A + “i Jd ^5^oraz “z W = & + “z J" gdzie ft=*(0). a, = lim iW(t), /J₂ = limx(t), -a₂ = limxM(t)

są rozwiązaniami zagadnień odpowiednio (2.9)-(2.10), (2.9)-(2.11) podanych poniżej. (2.9)    -(p(t)x^A(t)f = 0

20