3148972989

1.2. Kołczany

pełny układ parami nieizomorficznych prostych A-modułów. Można udowodnić, że w opisanej sytuacji reprezentacja (E_y,E_a) odpowiadająca modułowi S_x opisana jest wzorami

E_y = 5_x,_yK, E_a — 0,

dla y G Qo, a G Q\. Ponadto P_x jest nakryciem projektywnym modułu S_x, zaś I_x jego powłoką injektywną.

Na zakończenie tego paragrafu wprowadzimy jeszcze użyteczne słownictwo związane z kołczanami. Przede wszystkim, jeśli x i y są takimi wierzchołkami kołczanu Q, że w Q istnieje droga z x do y, to x nazywamy poprzednikiem wierzchołka y, zaś y następnikiem wierzchołka x. W sytuacji, gdy wierzchołki x i y są połączone strzałką o początku x i końcu y, to x nazywamy bezpośrednim poprzednikiem wierzchołka y, zaś y bezpośrednim następnikiem wierzchołka x. Zbiór wszystkich bezpośrednich poprzedników wierzchołka 2 będziemy oznaczać przez z~, zaś zbiór wszystkich jego bezpośrednich następników przez z⁺. Wierzchołek 2 jest źródłem w Q, jeśli z^- = 0, oraz jest ujściem w Q, gdy z⁺ = 0. Bezpośredni poprzednicy i bezpośredni następnicy wierzchołka z są nazywani jego sąsiadami. Kołczan Q jest lokalnie skończony, jeśli każdy jego wierzchołek ma skończoną liczbę sąsiadów. Kołczan Q jest spójny, jeśli dla dowolnych jego wierzchołków x i y, istnieje ciąg wierzchołków zq = x, Zi, ..., Zi-1, zi = y taki, że Z{-\ jest sąsiadem wierzchołka Zi dla i = 1,...,/. Każdy kołczan Q można w jednoznaczny sposób przedstawić w postaci rozłącznej sumy spójnych kołczanów = (Qq, Q\*), i = 1, ■ ■ ■ ,t, tzn. Q₀ = Qg>U- ■ Qi = CJ^U- ■ -ugS⁰, Qfr\Q^ = 0, Qf = 0, i 7^ j. Kołczany Q^\ i = 1,,t, nazywamy składowymi kołczanu Q.

Niech Q = (Qo,Qi,s,e) i Q' = (Q'₀, Q[,s', e') będą dwoma kołczanami. Będziemy mówić, że Q' jest podkolczanem kołczanu Q, jeśli Q'₀ C Q₀, Q'i Qi, oraz ^(c*) = s(a) i e'(a) = e(o;) dla wszystkich a G Q\. Zauważmy, że składowe kołczanu są jego podkołczanami w myśl powyższej definicji. Podkołczan Q' jest wypukły, jeśli dla każdej drogi (y\oą,..., ai \x) o własności x, y £ mamy a* G Qi> i = 1,..., l. Zauważmy, że warunek ten implikuje, iż s(oti), e(ai) G Q[i i = 1,..., Z. Podkołczan Q' jest pełny, jeśli

Q'i = {a £ Qi | s(a),e(a) e Q'₀}.

Oczywistym jest, że każdy podkołczan wypukły jest też pełnym podkołcza-nem.

Pojęcie wypukłości podkołczanu oraz twierdzenie Gabriela 1.2.1 pozwalają nam zdefiniować pojęcie podalgebry wypukłej. Algebra B jest wypukłą podalgebrą algebry A = KQ/I, jeśli B = KQ'/I' dla pewnego wypukłego

14